통계2015.01.05 15:29

쌍체비교(대응표본) 가설검정 문제풀이를 해보자. 이전 글에서 쌍체비교는 t분포를 사용해서 검정한다고 했는데, n30개 이상이면 t분포 대신 정규분포를 사용할 수가 있다. 그런데 쌍체비교는 표준편차를 직접 구해야 하므로, n이 커지면 표준편차를 계산하기가 힘들다. 그래서 실상 n30개 이상인 문제는 거의 안 나온다고 봐도 된다. 정규분포를 사용할 일이 거의 없.(, 통계 프로그램을 사용하면 상황이 달라진다.) 그럼 몇 가지 문제를 풀어보자.

 

 

 

1. 어느 한 공장에서는 작업자를 대상으로 교육훈련을 실시하면, 생산량에 차이가 생기는지를 알아보려고 한다. 이에 작업자 5명을 뽑아 교육 전후에 따른 생산량을 조사하였더니, 다음과 같았다.

교육 전 생산량:     60     70     45     55     70

교육 후 생산량    70     65     50     60     65

이때 교육훈련을 실시하면 생산량에 차이가 생기는지 유의수준 10%에서 검정하시오.

교육훈련을 실시하면 생산량에 차이가 생기는지를 알아보려고 하는데, 생산량이 감소할지 아니면 증가할지는 거론되지 않았다. 그래서 대립가설을 같지 않다로 설정한다.

그리고 교육 전후 차이의 평균을 구해보면 -2가 나오고, 차이의 표준편차를 구해보면 6.71이 나온다.

                 

그래서 검정통계량은 0.666이 된다. 그럼 기각역을 구해보자. 일단 유의수준 α=0.1인데, 양측검정이므로 α/2=0.05에 해당하는 값을 t분포표()에서 찾아야 한다.(자유도는 5-1=4이다.) 표에서 해당 값을 찾으면 2.132가 나오는데, 양쪽으로 설정해야 하므로 기각역은 ±2.132라는 것을 알 수 있다.

                                

결론을 내보면, 검정통계량이 채택역 안에 위치하므로 귀무가설이 채택된다. 그러므로 교육훈련을 실시해도 생산량에는 차이가 없다.(=는 차이가 없다는 뜻이다.)

 

 

 

2. 어느 한 보험회사에서는 영업교육을 실시하면, 영업사원의 계약 건수가 증가한다고 한다. 이에 실제로 그러한지를 알아보기 위해 영업사원 4명을 뽑아 계약 건수를 조사하였더니, 다음과 같이 나왔다고 한다.

교육 전 계약 건수:     1     2     1     4

교육 후 계약 건수:     7     5     8     4

이때 영업교육을 실시하면 계약 건수가 증가한다고 할 수 있는지, 유의수준 5%에서 검정하시오.

영업교육을 실시하면 계약 건수가 증가한다고 하므로, 대립가설은 μ2가 더 크다”(, μ1이 더 작다”)로 설정한다.

그리고 교육 전후 차이의 평균을 구해보면 -4가 나오고, 차이의 표준편차를 구해보면 3.16이 나온다.                              

그래서 검정통계량은 -2.532가 된다. 그럼 기각역을 구해보자. 일단 유의수준 α=0.05이고 자유도는 4-1=3인데, 해당하는 값을 표에서 찾으면 2.353이 나온다. 그런데 왼쪽 좌표이기에 를 붙여야 하므로, 기각역은 2.353이 된다.

                                

결론을 내보면, 검정통계량이 기각역 안에 위치하므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그러므로 영업교육을 실시하면 계약 건수가 증가한다고 할 수 있다.

 

 

 

3. 어느 회사에서는 자신들이 제조한 다이어트 약을 복용하면, 6kg을 초과하여 체중이 감량한다고 광고하고 있다. 이에 실제로 그러한지를 알아보기 위해 5명을 대상으로 효과를 분석해보니, 다음과 같이 나왔다고 한다.

복용 전 체중:     63     65     81     75     73

복용 후 체중:     56     61     63     76     66

이때 다이어트 약을 복용하면 6kg을 초과하여 체중이 감량한다고 할 수 있는지, 유의수준 1%에서 검정하시오.

응용된 문제라서 가설 세우기가 번거로운 데, 가설 세우는 법을 자세히 알아보자. 일단 다이어트 약을 복용하면 체중감량의 효과가 있기 때문에, 복용 전 체중의 평균(μ1)이 상대적으로 더 크고, 복용 후 체중의 평균(μ2)이 상대적으로 더 작다. 그래서 대립가설은 μ1이 더 크다로 설정한다.

그런데 여기서 끝나지 않는다. 보통 가설을 세울 때는 μ1-μ2=0처럼 “0”으로 세우는 것이 일반적인데, 귀무가설로 μ1μ2가 같다라고 세우기 때문이다. 그래서 0인 것이다. 하지만 위의 문제는 μ1μ2가 같은 것이 아니라, 6kg의 차이가 있다. 그래서 0 대신 6을 넣어줘야 한다. 그런데 μ1이 더 크기 때문에, μ26을 더해줘야 값이 서로 같아진다. 그래서 +6이 들어간다. 마지막으로 μ2를 왼쪽으로 넘기면 가설이 완성된다.

                                            

그리고 복용 전후 차이의 평균을 구해보면 7이 나오고, 차이의 표준편차를 구해보면 6.96이 나온다.                      

그래서 검정통계량은 0.321이 된다.(여기서 검정통계량의 μ1-μ2에는 0 대신 6을 넣어줘야 한다.) 그럼 기각역을 구해보자. 일단 유의수준 α=0.01이고 자유도는 5-1=4인데, 해당하는 값을 표에서 찾으면 3.747이 나온다. 그래서 기각역은 3.747이 된다.

                                

결론을 내보면, 검정통계량이 채택역 안에 위치하므로 귀무가설이 채택된다. 그러므로 이 다이어트 약을 복용하면 6kg을 초과하여 체중이 감량하지는 않는다.

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Posted by 나부랭이

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  1. 학생

    쉽게 설명해주셔서 쉽게이해했습니다. 감사해요

    2015.06.04 05:54 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  2. 구름

    학교 교수님보다 더 잘 설명해주셨네요 ㅜㅜ 감사합니다.

    2015.12.01 02:02 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  3. 진짜 깔끔하게 잘 정리 되어있어서 도움이 되었습니다. 감사합니다!!

    2015.12.15 14:40 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]