통계2015.02.15 16:57

회귀계수의 신뢰구간 문제풀이를 해보자. 이전 글에서 회귀계수의 신뢰구간은 크게 “y절편의 신뢰구간기울기의 신뢰구간이 있다고 했는데, 보통 기울기의 신뢰구간만 구한다고 했었다. 그래서 여기서도 기울기의 신뢰구간만 구해보자. 그리고 예전에 회귀분석 문제풀이에서 다루었던 문제를 그대로 다루려고 한다. 그럼 기울기의 신뢰구간을 구해보자.

 

 

 

1. 부모의 키가 클수록 자식의 키도 상대적으로 크다고 하는데, 아버지의 키와 아들의 키를 조사하였더니 아래와 같이 나왔다고 한다. 이 자료를 바탕으로 해서 회귀식을 구하였더니 y()=151.1+0.17x가 나왔다고 한다. 이때 회귀식의 기울기에 대한 90% 신뢰구간을 추정하시오.

아버지의 키(x):     150     160     170     180     190

    아들의 키(y):     176     179     182     178     185

회귀계수의 신뢰구간 역시 한 번에 계산하기는 힘들다. 하지만 예전에 예측구간을 구할 때 구한 값들이 그대로 들어가므로,(참고) 예측구간을 구한 후라면 쉽게 계산할 수 있다. 어쨌든 들어가는 값을 표로 나타내면 아래와 같다.

 

그럼 신뢰구간을 구할 수가 있는데, 먼저 표본의 기울기 b1=0.17이다. 그리고 신뢰수준이 90%이므로 α/2=0.05이고, 자유도는 5-2=3이다. 해당 값을 t분포표()에서 찾으면 tα/2=±2.353이 된다.

 

그래서 신뢰구간을 구하면 -0.03과 0.37이 나온다. 그러므로 기울기는 -0.03에서 0.37 사이일 것이다로 추정할 수 있다.

 

 

 

2. 소득이 높을수록 신용카드사용량이 많아진다고 하는데, 월 소득 대비 신용카드 사용량을 조사하였더니 아래와 같이 나왔다고 한다. 이 자료를 바탕으로 해서 회귀식을 구하였더니 y()=-25.1+0.417x가 나왔다고 한다. 이때 회귀식의 기울기에 대한 95% 신뢰구간을 추정하시오.(단위는 만원)

         월 소득(x):     100     200     300     400     500

카드 사용량(y):       30      57       76     140     197

먼저 들어가는 값을 표로 나타내면 아래와 같다.

 

추가로 표본의 기울기 b1=0.417이다. 그리고 신뢰수준이 95%이므로 α/2=0.025이고, 자유도는 5-2=3이다. 해당 값을 표에서 찾으면 tα/2=±3.182가 된다.

 

그래서 신뢰구간을 구하면 0.239와 0.595가 나온다. 그러므로 기울기는 0.239에서 0.595 사이일 것이다로 추정할 수 있다.

 

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Posted by 나부랭이

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  1. oosiht

    앞 포스팅에서 (표본의) 회귀식 설정을 y(헷) = b0 + b1x 로 하셨는데
    유도식 b1 에 기울기가 아닌 y 절편을 넣으셨네요

    1번문제 b1에 0.17(기울기) 이 아닌 151.1(y 절편)
    2번문제 b1에 0.417(기울기)이 아닌 -25.1(y 절편)

    반대로 되어야 하는 것 아닌지요?
    기울기의 신뢰구간이니 b1(기울기) ± (계산식 값) 형태로 나오는 것이 아닌지요?

    2015.02.24 07:00 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 그렇네요 ㅋㅋ

      어쩐지 답이 너무 깔끔하게 나와서,

      좀 이상하다고 생각했었는데,

      엉뚱한 걸 구하고 있었네요;;

      뭐.. 값은 다 수정했습니다 ㅋㅋ

      2015.02.24 20:24 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  2. oosiht

    나부랭이님을 통해 통계의 눈을 뜨게되어 잘 활용하고 있습니다.
    질문드리는 것은
    회귀계수(기울기) 가설검정 중에
    H0 : 베타=1.5 H0:베타=/ 1.5 와 같이
    모 회귀식 기울기 값이 0이 아닌 것에 대한 검정이 있는데 이런 것은 어떻게 풀어나가야 하는지요?

    2015.02.26 01:22 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 일단 "회귀계수의 가설검정"은 "회귀식의 가설검정" 때문에,

      실상 중요하지는 않습니다. 그래서 저는 다루지 않은 겁니다.

      (거의 흡사하기에, 둘 다 구할 필요가 없습니다.)



      일단 회귀계수(기울기)의 가설검정도 회귀식의 가설검정과 마찬가지로,

      "기울기가 있는지"가 중요하기에, 기울기의 유무로 가설을 설정합니다.

      H0: β= 0 ← 기울기가 없다.

      H1: β≠0 ← 기울기가 있다.



      그런데 위의 문제는 응용된 문제로,

      (다른 가설검정에서 응용으로 0 이외에 다른 수치를 사용하는 것처럼요)

      기울기의 유무를 파악하는 것이 아니라,

      "기울기가 1.5인지"를 파악하는 겁니다.

      H0: β= 1.5 ← 기울기는 1.5이다.

      H1: β≠1.5 ← 기울기는 1.5가 아니다.



      그런데 중요한 건 검정통계량입니다.

      회귀계수(기울기)의 검정은 보통 "t분포"를 사용하는데,

      이 문제는 응용된 문제이기에, 특정값 1.5가 그대로 들어갑니다.(가설 속의 모기울기)

      그래서 검정통계량은

      (표본기울기-1.5)/표준오차

      이렇게 구하면 될 겁니다.(표준오차는 신뢰구간 뒷부분이랑 같을 겁니다)



      저도 한 번도 직접 풀어 본 적은 없어서,

      이렇게 푸는 게 맞는지는 모르겠네요~_~

      2015.02.26 14:36 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
    • 음미이

      안녕하세요. 덕분에 공부 잘 하고 있습니다. 이 대댓글이 오래되어서 답변을 해주실지 모르겠네요 ㅜㅜ
      1. 회귀계수의 가설검정에서
      (표본기울기-확인하고싶은 기울기)/표준오차
      를 검정통계량으로 t분포를 사용해서 회귀계수의 검정을 한다고 말씀하셨는데요.
      다른 책에서 기울기가 0인지 0이 아닌지 검증해보기 위해서도 표본기울기/표준오차를 사용한다고 되어 있더라고요.
      앞선 글에서 회귀식의 가설검정에서 회귀식을 검정하기 위해서 기울기가 0인지 아닌지 검증하는 법을 알려주셨잖아요? 그 검증에서는 MSR/MSE를 이용한 검정통계량으로 F분포를 사용해서 혼란스럽습니다 ㅜㅜ
      기울기가 0인지 아닌지 검증할 때에 F분포를 사용하는 방법과 표본기울기/표준오차로 t분포를 사용하는 방법은 단지 서로 다른 방법으로 검증한다고 이해하면 되는 것인가요? 아니면 그 두 분포를 통한 계산의 특수한 관계가 있는 것인가요?

      2. 표본기울기/표준오차 이 식에서 표준오차는 어떤 것을 의미하고 있는 걸까요? 정확하게 감이 안잡혀서요. ㅜㅜ 어떤 글에서는 표준오차는 표준편차를 root(시행횟수)만큼 나눈 거라고 되어있는데, 그냥 '표본기울기'들의 표준편차를 구하고 root(시행횟수)로 나누면 되는 건가요?

      2017.02.16 23:56 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  3. 박언더

    분산분석표 해석하는법도 알려주시겠어요? 제곱합 자유도 평균제곱 f비 p값 오차 등등 있는 표던데 이해가 힘드네요

    2015.03.01 19:02 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  4. 감사합니다

    나부랭이님 절대 이블로그 닫지말아주세요 저 매일 블로그와서 자료보면서 장기적으로 통계공부 할겁니다!!! 부탁드리겠습니다 제가 원하던 자료 드디어 찾았습니다!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ㅠㅠ 감격스긴한데... 언제 갑자기 블로그가 닫힐까봐 겁나고 걱정이되네요..ㅠㅠ 부탁드리겟습니다..ㅠㅠ

    2015.03.08 22:30 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  5. rainara

    안녕하세요 나부랭이님 덕분에 통계공부 정말 잘하고 있어요 통계의 통자도 모르던 사람이었는데 ㅜ 나부랭이님 도움 많이 받고 갑니다 :) 부탁드리는데 경로분석이라든가 구조방정식이라든가 이런것들도 조금씩 올려주실수 있으신가요? 제가 사회조사분석 공부할 때 책 반 나부랭이님 글 반 이렇게 공부하니까 너무 잘되더라구요 나부랭이님 시간 되실때마다 조금씩 올려주시면 정말 감사하겠습니다 :) 감사합니다 정말 ^_^

    2015.03.20 06:12 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 통계는 한동안 다룰 생각이 없어서요.

      지금으로선 뭐라 말씀드리기가 어렵네요 ~_~;;

      2015.03.20 14:35 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  6. bang

    글의 퀄리티가 장난아니네요.. 대학수업의 확률과통계 2 회귀식을 듣던중, 너무나 어려워 우연히 검색을 통해 들어왔는데, 정말로 이해가 쏙쏙됩니다. 저희 대학교 교수님이 이렇게 가르치셨다면..

    2015.03.22 00:29 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  7. gonbuhaza

    님, 혹시 Inference도 다루실 예정은 없으신가요? 최종적으론 Classical vs Bayes 요렇게.. ㅎㅎ

    2015.04.08 10:32 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  8. 20mm

    논문을 보다가 통계가 많이 나와서 통계설명자료 찾다가 여기 들렸다가 엄청 도움이 되었습니다. 감사합니다.

    2015.05.05 22:42 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  9. taeyang

    혹시 1차식이 아닌 3차식의 회귀계수 신뢰도를 구하는 방법도 있나요?

    2015.06.18 15:24 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  10. MBC

    처음으로 통계가 이렇구나 하고 이해가 됩니다. 대학원에서 통계를 들어도 감이 안 잡혔는데, 이제 사회과학도로서 아주 쬐~끔 이나마 감이 잡히네요. 고맙습니다. 혹여나 책 내시면 꼭 살게요. ㅋㅋㅋㅋ 추가로 통계 나머지 부분들도 업글해주셨으면 좋겠습니다!

    2015.09.23 22:54 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 댓글 감사합니다 ㅋㅋ

      그리고 한동안은 "중딩", "고딩" 수학을 다룰 생각이라서,

      통계 다음 부분은 시간이 좀 걸릴 것 같네요 ~_~;;

      2015.09.24 13:45 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  11. 닌조인간

    정말 쉽게 설명해주셔서 감사합니다!!

    2015.11.13 19:03 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  12. 감탄했습니다

    너무 감탄했습니다.
    이렇게 통계를 쉽게 설명해주셔서 감사드립니다.
    수학의 명인이신것 같습니다.
    자주 찾아뵙겠습니다.

    2015.11.26 15:54 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  13. 감탄했습니다

    저도 책으로 펴내시면 꼭 사겠습니다.

    2015.11.26 15:55 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  14. 잘보고잇어요!!

    통계학과에 들어오면서 이블로그 잘보고잇어요ㅎㅎ
    그런데 제 책에 p값도 적혀져있는데 어떻게 구하는건가요..?
    p값: Q~ F(1,12)일 때, p값 = P(Q> 30.25)=0.00014예요ㅠㅠ
    3.25는 검정통계량입니다!!

    2015.12.05 22:23 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  15. ANOVA를배우고싶어요

    ANOVA도 좀 다뤄주세요! 부탁드립니다..

    2015.12.08 16:26 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  16. _지나가던_사람_

    어떤책으로 공부하셨는지 궁금합니다 책 추천해주실 수 있나요?

    2015.12.26 09:48 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  17. 통계는넘어야할 산..

    너무너무 잘 보고 있습니다. 어쩜이리 명쾌하게 머리에 쏙쏙 들어오게 설명이 잘 되어있는지....수포자가 통계를 하려고 하니 머리에 쥐가 나는데 이 사이트가 없었음 정말 어쩔뻔...매일 매일 방문해서 보고 있어요...절대로 사이트 문 닫으시면 안되요~~~

    2017.01.16 17:41 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  18. 말자하

    안녕하세요. 어느 시중에 나와있는 책 보다도 명쾌하고 간결한 나부랭이님 티스토리 강의 덕분에 도움 많이 되었어요. 제 나름대로 열흘동안 하루에 10개씩 정리해서 보니 20페이지 분량이 나왔네요. 시험 보기전까지 보다 들어가려구요!! 구독자 입장에서 이해가게 설명하시려고 얼마나 많은 노력을 기울이셨을까 싶네요. 감사합니다^^

    2017.10.18 17:50 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]