중1수학2015.03.09 19:44

소인수분해로 약수의 개수 구하는법을 알아보자. 일단 약수는 나누었을 때 나머지가 0이 되는 수를 말한다. 예를 들어 숫자 8,

1로 나누었을 때 나머지가 0이고,

2로 나누었을 때 나머지가 0이고,

4로 나누었을 때 나머지가 0이고,

8로 나누었을 때 나머지가 0이기에,

숫자 8의 약수는 (1, 2, 4, 8)이다. 그래서 약수는 4개라는 것을 알 수 있다. 이렇게 약수의 개수는 나누기를 활용해서 구하는데, 다만 숫자가 클 경우에는 약수의 개수를 구하기가 힘들어진다.

예를 들어 숫자 512의 약수는 몇 개일까? 아마도 구하기가 힘들 것이다. 왜냐하면 숫자 8의 경우에는 나누기를 몇 번만 하면 되지만, 숫자 512의 경우에는 나누기를 많이 해야 한다. 그래서 숫자가 클 경우에는 약수의 개수를 구하기가 힘들다. 그런데 이때 소인수분해를 활용하면 약수의 개수를 구하기가 쉬워진다.

 

 

일단 수학에는 여러 규칙이 있는데, 소인수분해와 약수 간에도 규칙이 하나 있다. 바로 거듭제곱 숫자에 +1을 하면 약수의 개수가 된다. 예를 들어 숫자 8을 소인수분해하면 23이 나오는데, 거듭제곱인 3+1을 하면 약수의 개수가 된다. 그래서 숫자 8의 약수는 4개라는 것을 알 수 있다.

 

그러면 숫자 512의 약수는 몇 개인지를 쉽게 구할 수가 있다. 먼저 512를 소인수분해하면 29이 나오는데, 거듭제곱 9+1을 해보면 10이 된다. 그래서 숫자 512의 약수는 10개라는 것을 알 수 있다. 이렇게 숫자가 크더라도, 소인수분해를 활용하면 약수의 개수를 쉽게 구할 수가 있다.

 

그런데 거듭제곱이 2개인 경우도 있다. 예를 들어 숫자 72를 소인수분해하면, 23×32으로 거듭제곱이 2개나 된다. 하지만 이러한 경우에도 구하는 법을 비슷하다. 일단 각각의 거듭제곱에 +1을 한 후, 서로 곱해주면 된다. 그래서 (3+1)×(2+1)=12, 숫자 72의 약수는 12개라는 것을 알 수 있다.

 

 

마찬가지로 거듭제곱이 3개 이상인 경우도 동일하다. 예를 들어 숫자 1800을 소인수분해하면, 23×32×52으로 거듭제곱이 3개나 되는데, 그냥 각각의 거듭제곱에 +1을 한 후, 서로 곱해주면 된다. 그래서 (3+1)×(2+1)×(2+1)=36으로, 숫자 1800의 약수는 36개라는 것을 알 수 있다.

 

 

이렇게 소인수분해를 활용하면, 숫자가 크더라도 약수의 개수를 구하기가 쉬워진다. 그럼 다음 글에서는 문제풀이를 해보자.

Posted by 나부랭이

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  1. 와 핵감사

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  2. 와 핵감사

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