중1수학2015.03.18 15:19

최대공약수 문제풀이를 해보자. 이전 글에서 최대공약수 구하는 방법은 크게 2가지가 있는데, 하나는 동시에 나눠주는 방법이고, 또 다른 하나는 소인수분해를 활용한 방법이라고 했었다. 추가로 보통 최대공약수를 구할 때는 동시에 나눠주는 방법이 더 편하기는 하지만, 이미 소인수분해가 되어있는 경우에는 소인수분해를 활용한 방법이 더 편하다. 그럼 몇 가지 문제를 풀어보자.

 

 

 

1. 다음의 최대공약수를 구하시오.

100, 140                                 23×3×52, 22×32×5×11

먼저 최대공약수를 구할 때는 동시에 나눠주는 방법이 편하다. 그래서 번 문제의 100140을 동시에 나눠주면, 최대공약수는 2×2×5=20이 나온다. 그리고 번 문제는 이미 소인수분해가 되어 있으므로, 소인수분해를 활용한 방법으로 구하는 것이 좋다. 그래서 23×3×5222×32×5×11의 공통된 소수를 찾으면, 최대공약수는 22×3×5=60이 된다.

 

 

 

2. 자연수 12101430의 공약수를 모두 구하시오.

일단 자연수 12101430은 숫자가 크므로, 공약수를 일일이 구하기가 힘들다. 그런데 최대공약수의 약수가 곧 공약수이므로, 먼저 최대공약수를 구하면 쉽게 공약수를 구할 수 있다. 그래서 자연수 12101430의 최대공약수를 구하면 2×5×11=110이 나오는데, 110의 약수는 (1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110)이다. 그래서 자연수 12101430의 공약수는 (1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110)이다.

 

 

 

3. 다음 23×52×7222×53의 공약수가 아닌 것은?

1                                 2×53

2×5                              22×5

22×52

일단 23×52×7222×53의 최대공약수를 구해보면 22×52이 나온다. 그리고 공약수는 최대공약수의 약수이므로, 최대공약수 22×52의 범위를 넘어간 수는 공약수가 아니다. 그런데 위 번이 2×53으로 최대공약수의 범위를 넘어서므로, 번이 공약수가 아니다.

 

 

 

4. 다음 24×32×5×7323×34×52의 공약수의 개수를 구하시오.

먼저 24×32×5×7323×34×52의 최대공약수를 구해보면 23×32×5가 나온다. 그런데 공약수는 최대공약수의 약수이므로, 23×32×5의 약수를 구해서, 그 개수를 파악하면 된다. 그런데 23×32×5=360으로 그 숫자가 커서, 공약수의 개수를 일일이 파악하기가 힘들다. 하지만 소인수분해를 활용하면 약수의 개수를 쉽게 구할 수 있다.(참고) 그래서 공약수의 개수는 (3+1)×(2+1)×(1+1)=24이다.

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Posted by 나부랭이

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