중2수학2016.12.13 14:53

삼각형의 외심의 성질에 대해서 알아보자. 이전 글에서 삼각형의 세 꼭짓점과 접하는 원을 외접원이라 부르며, 외접원의 중심을 외심이라 부른다 했었는데, 외심에서 삼각형의 세 꼭짓점으로 선을 하나씩 그어보자. 그러면 이 선들은 모두 원의 반지름이기 때문에, 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 모두 같다는 것을 알 수 있다.

 

 

또 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 같기 때문에, 각각 3개의 이등변삼각형을 만들 수 있다. 그럼 각 이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선을 그어보자.(이등분선이란, 도형을 똑같이 2등분한 직선을 말한다) 그러면 도형을 똑같이 2등분하였기 때문에, 2등분 된 각각의 선들은 길이가 서로 같다는 것도 알 수 있다.

 

 

그리고 이러한 외심의 성질을 활용하면 특정한 각의 크기도 쉽게 구할 수 있는데, 먼저 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 서로 같으므로, 각각의 각을 x, y, z라고 나타낼 수 있다. 그럼 삼각형 세 각의 합은 180°이므로, 식을 (x+z)+(x+y)+(y+z)=180°라고 나타낼 수 있고, 식을 풀어보면 x+y+z=90°가 나오는 것을 알 수 있다.

 

 

다음으로 이등변삼각형의 두 밑각의 합은 꼭지각의 외각의 크기와 같은데, 예를 들어 이등변삼각형의 밑각의 크기가 20°라면, 꼭지각의 외각의 크기는 40°가 나온다. 그래서 이러한 성질을 활용할 수 있는데, 먼저 선 AO의 연장선을 그어서 선 OD를 그어보자. 그럼 이등변삼각형의 두 밑각의 합은 꼭지각의 외각의 크기와 같으므로, OAB+OBA=BOD이고, OAC+OCA=DOC라는 것을 알 수 있다. 그러면 BOCA보다 2배가 더 크므로, BOC=2A가 되는 것을 알 수 있다.

 

 

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Posted by 나부랭이

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