중2수학2016.12.16 15:51

삼각형의 내심의 성질에 대해서 알아보자. 먼저 삼각형의 세 선과 접하는 원을 내접원이라 부르며, 내접원의 중심을 내심이라 부른다. 그럼 내심에서 원과 삼각형이 서로 접하는 곳으로 선을 하나씩 그어보자. 그러면 이 선들은 모두 원의 반지름이기 때문에, 내심에서 세 선까지의 거리는 모두 같다는 것을 알 수 있다.

 

 

그런데 원과 직선이 서로 만날 때, 원의 중심에서 원과 직선이 서로 만나는 곳으로 직선을 그으면, 그곳의 각은 90°가 된다. 그래서 원과 삼각형이 서로 접하는 곳의 각은 모두 90°.

 

 

다음으로 내심에서 삼각형의 세 꼭짓점으로 각각 선을 하나씩 그어보자. 그럼 ADIAFI는 서로 합동이고, BDIBEI는 서로 합동이며, CEICFI는 서로 합동이다.(증명은 생략한다) 이렇게 각각의 삼각형이 서로 합동이기에, 대응하는 각의 크기도 서로 같다. 그래서 세 꼭짓점의 2등분 된 각각의 각은 크기가 서로 같다는 것도 알 수 있다.

 

 

그리고 이러한 내심의 성질을 활용하면 특정한 각의 크기도 쉽게 구할 수 있는데, 먼저 2등분 된 각각의 각은 크기가 서로 같으므로, 각각의 각을 x, y, z라고 나타낼 수 있다. 그럼 삼각형 세 각의 합은 180°이므로, 식을 2x+2y+2z=180°라고 나타낼 수 있고, 식을 풀어보면 x+y+z=90°가 나온다.

 

 

다음으로 삼각형에서 한 외각의 크기는 나머지 두 각의 합과 같은데, 예를 들어 삼각형에서 두 각의 크기가 각각 25°35°라고 하자. 그러면 한 외각의 크기는 60°가 나온다. 그래서 이러한 성질을 활용할 수 있는데, 먼저 선 AI의 연장선을 그어서 선 ID를 그어보자. 그럼 삼각형의 한 외각의 크기는 나머지 두 각의 합과 같으므로, IAB+IBA=BID이고, IAC+ICA=DIC라는 것을 알 수 있다. 그러면 BICBID+DIC이므로, 최종적으로 BIC=90°+1/2A가 된다. 참고로 내심의 성질은 외심의 성질이랑 비교해서 조금씩 다르므로, 약간 헷갈릴 수 있다. 그래서 직접 그림을 그려서, 원리를 이해하는 것이 좋다.

 

 

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Posted by 나부랭이

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