중2수학2016.12.22 17:41

삼각형의 내심의 활용 문제풀이를 해보자. 일단 삼각형의 내심을 활용하면, 삼각형의 넓이를 구할 수 있는데, 넓이를 구하기 위해서는 삼각형을 3등분으로 나누면 된다.(삼각형의 넓이 구하는 법은 “1/2×밑선×높이) 그 밖에도 내심을 활용하면, 선의 길이도 구할 수 있다.

 

 

 

 

 

1. 다음 ABC의 넓이를 구하시오.

일단 삼각형의 넓이를 구하는 법은 “1/2×밑선×높이인데, 위의 삼각형에는 높이가 나오지 않았다. 하지만 ABC3등분으로 나눠보자. 그러면 내접원의 반지름이 각 삼각형의 높이라는 것을 알 수 있다. 그래서 각 삼각형의 넓이를 구한 후, 모두 더해보면 ABC의 넓이는 54(cm2)이 나온다.

 

 

이렇게 내접원의 반지름과 삼각형의 둘레의 길이만 안다면, 삼각형의 넓이를 구할 수 있는데, 공식으로 나타내면 1/2r(a+b+c)이다. 참고로 공식에서 (a+b+c), 삼각형의 둘레의 길이를 나타낸다.

 

 

 

 

 

2. 다음 ABC는 직각삼각형이다. 이때 내접원의 반지름 r의 길이를 구하시오.

일단 직각삼각형은 직각이 있어서, 높이를 바로 알 수 있고, 그래서 넓이를 바로 구해보면 24(cm2)이 나온다. 그런데 구하고자 하는 것은 내접원의 반지름이므로, 위의 문제에서 다루었던, 넓이를 구하는 또 다른 공식 1/2r(a+b+c)와 비교하면 된다. 그래서 두 공식을 서로 비교해보면, 반지름의 길이 r=2cm가 나온다.

 

 

 

 

 

3. IABC의 내심이라고 한다. 이때 선 AD의 길이를 구하시오.

일단 선 AD의 길이를 구하는 것이므로, AD”x로 놓자. 그다음 내심에서 삼각형의 세 꼭짓점으로 각각 선을 하나씩 그어보자. 그럼 ADIAFI는 서로 합동이고, BDIBEI는 서로 합동이며, CEICFI는 서로 합동이다. 이렇게 각각의 삼각형이 서로 합동이기에, 대응하는 선의 길이도 서로 같다. 그래서 x를 넣어서 선의 길이를 다시 나타내면 아래와 같은데, 여기서 길이가 9cmBC”, 8-x7-x의 합이라는 것을 알 수 있다. 그래서 9=8-x+7-x이므로, x=3cm가 나온다.

 

 

 

 

 

4. IABC의 내심이라고 한다. 이때 내접원의 반지름 r의 길이를 구하시오.

위의 문제와 비슷한데, 먼저 반지름은 EC” 그리고 FC”와 길이가 같다는 것을 알 수 있다. 그래서 r을 넣어서 선의 길이를 다시 나타내면 아래와 같은데, 여기서 길이가 5cmAB”, 4-r3-r의 합이라는 것을 알 수 있다. 그래서 5=4-r+3-r이므로, r=1cm가 나온다.

 

 

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Posted by 나부랭이

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