중2수학2017.01.06 18:31

평행사변형의 넓이에 대해서 알아보자. 먼저 직사각형의 넓이 구하는 법은 밑선×높이인데,(가로×세로) 사각형을 똑같이 절반으로 나눠보면 삼각형이 되기에, 삼각형의 넓이 구하는 법은 “1/2×밑선×높이가 된다.(2개의 삼각형 중에서, 삼각형 1개의 넓이다) 이렇게 사각형을 똑같이 절반으로 나눠보면 삼각형이 되기에, 삼각형의 넓이 구하는 공식에는 1/2이 들어가는 것이다.



그리고 이러한 성질은 그대로 평행사변형에도 적용된다. 그래서 평행사변형에서 대각선을 그어서 2개의 삼각형을 만들어보자. 그러면 평행사변형을 똑같이 2등분하였기 때문에, 삼각형 1개의 넓이는 평행사변형 전체 넓이에 1/2에 해당한다. 그래서 ABD의 넓이는 평행사변형 전체 넓이에 1/2에 해당하고, 마찬가지로 CBD의 넓이도 평행사변형 전체 넓이에 1/2에 해당한다.



참고로 평행사변형은 도형의 모양이 비뚤어져 있어서, 다른 공식으로 넓이를 구할 거 같지만, 도형을 재배열해보면 평행사변형 또한 밑선×높이로 넓이를 구한다는 것을 알 수 있다. 물론 삼각형 1개의 넓이도 “1/2×밑선×높이로 구하면 된다.



다음으로 평행사변형에서 대각선을 2개 그어보자. 그러면 4개의 삼각형이 만들어지는데, 4개의 삼각형은 모두 넓이가 같다. 왜냐하면 일단 AOBCOD를 비교해보면, 두 선의 길이가 서로 같고, 끼인각의 크기도 서로 같다.(맞꼭지각의 크기가 서로 같다) 그래서 SAS 합동이므로,(참고) 넓이가 서로 같다. 마찬가지로 AODBOC도 서로 합동이며, 넓이가 서로 같다.



그리고 AOBAOD를 서로 비교해보면, 두 삼각형이 서로 합동은 아니지만, 밑선과 높이의 길이가 서로 같기에, 넓이도 서로 같다는 것을 알 수 있다.(AOB의 밑선은 BO이고, 높이는 AE. 그리고 AOD의 밑선은 OD이고, 높이는 AE) 그래서 최종적으로 4개의 삼각형은 모두 넓이가 같다는 것을 알 수 있는데, 그러므로 4등분 된 삼각형 1개의 넓이는 평행사변형 전체 넓이에 1/4에 해당한다.



이번에는 평행사변형에 임의의 점 P를 잡고, 4개의 삼각형을 만들어보자. 그럼 아무런 규칙이 없어 보이지만, 그렇지 않다. 그래서 점 P를 지나고, 평행사변형의 각 선과 평행한 직선 2개를 그어보자. 그러면 총 4개의 평행사변형이 만들어지는데, 평행사변형에서 대각선을 그어서 만든 두 삼각형은 서로 합동이므로, 8개의 삼각형이 각각 쌍으로 합동이라는 것을 알 수 있다.(같은 번호끼리 서로 합동이다)



그리고 각각의 번호를 모두 더하면, 평행사변형의 전체 넓이는 2(+++)가 나온다. 그런데 APBCPD의 넓이를 서로 합하면, +++가 나오면서, 평행사변형 전체 넓이에 1/2에 해당한다는 것을 알 수 있다. 마찬가지로 APDBPC의 넓이도 서로 합하면, 평행사변형 전체 넓이에 1/2에 해당한다.



이렇게 임의의 선 P를 잡고 4개의 삼각형을 만들었을 때, 서로 마주 보는 있는 두 삼각형의 넓이를 서로 합하면, 평행사변형 전체 넓이에 1/2에 해당한다. 그리고 똑같이 평행사변형 전체 넓이에 1/2에 해당하므로, APB+CPD=APD+BPC처럼 서로 마주 보는 있는 두 삼각형의 넓이의 합은 서로 같다고 할 수 있다.



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Posted by 나부랭이

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  1. 이번 글부터는 "구글 크롬"의 작성합니다.

    그러니 이번 글부터는 "익스플로러"보다는,

    "크롬"으로 보시는 것이 더 편하실 겁니다.("익스플로러"에서는 "숫자"와 "기호"가 지저분하게 나옵니다)

    2017.01.06 18:37 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]