중2수학2017.07.10 15:04

삼각형의 내각과 외각의 이등분선 길이의 비에 대해서 알아보자. 먼저 ABC가 있을 때, A를 똑같이 2등분하는 선을 그린 후, BC와 만나는 점을 D라고 하자. 그럼 각 선을 AB:AC=BD:DC라는 비례식으로 나타낼 수 있다.(공식을 외우기보다는, 그림으로 기억하는 것이 더 좋다)

 


그럼 이러한 비례식이 나오는 이유를 알아보자. 일단 선 AD를 길게 이어서 선 AE를 그린 후, AB와 평행하는 선 CE를 그려보자. 그다음 선 AC를 지워보자. 그럼 남아있는 도형은 삼각형에서 평행선과 선의 길이의 비에 나온 도형과 같은 것을 알 수 있다.(참고) 그래서 AB:CE=BD:DC라는 비례식을 세울 수 있다.

 


그런데 선 AB와 선 CE가 서로 평행이므로, BAEAEC는 서로 엇각으로 크기가 같다. 그러므로 ACE는 이등변삼각형으로,(삼각형에서 2개의 내각의 크기가 서로 같으면, 이등변삼각형이다) AC와 선 CE의 길이가 서로 같다. 그래서 위의 비례식 AB:CE=BD:DCCE 자리에 AC를 대입할 수 있다. 그래서 최종적으로 AB:AC=BD:DC라는 비례식이 나오는 것을 알 수 있다.

 


다음으로 아래와 같은 ABC가 있을 때, A의 외각을 똑같이 2등분하는 이등분선과 선 BC의 연장선이 만나는 점을 D라고 하자. 그럼 각 선을 AB:AC=BD:CD라는 비례식으로 나타낼 수 있다.(역시 공식보다는, 그림으로 기억하는 것이 좋다)

 


마찬가지로 이러한 비례식이 나오는 이유를 알아보자. 일단 선 AD와 평행하는 선 CE를 그려보자. 그다음 3개의 평행선을 길게 그려보면, “평행선 사이의 선의 길이의 비에 나온 도형과 같은 것을 알 수 있다.(참고) 그래서 AB:AE=BD:CD라는 비례식을 세울 수 있다.

 


그런데 선 AD와 선 CE가 서로 평행이므로, CADACE는 엇각으로 크기가 서로 같고, FADAEC는 동위각으로 크기가 서로 같다. 그러므로 AEC는 이등변삼각형으로, AE와 선 AC의 길이가 서로 같다. 그래서 위의 비례식 AB:AE=BD:CDAE 자리에 AC를 대입할 수 있다. 그래서 최종적으로 AB:AC=BD:CD라는 비례식이 나오는 것을 알 수 있다.



저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
Posted by 나부랭이

댓글을 달아 주세요