중2수학2017.07.24 20:10

삼각형의 무게중심과 넓이에 대해서 알아보자. 먼저 삼각형의 무게중심이란, 말 그대로 무게의 중심을 말하는데, 3개의 중선이 만나는 곳이 바로 무게중심이다.(중선: 꼭짓점과 중점을 연결한 선) 예를 들어 하나의 ABC가 있을 때, A와 선 BC의 중점에 중선을 그어보자. 그다음 점 B와 선 AC의 중점에 중선을 긋고, C와 선 AB의 중점에 중선을 그어보자. 그럼 3개의 중선이 만나는 점 G가 바로 삼각형의 무게중심이다.

 


그런데 추가로 선 FE를 그려보면, 삼각형의 중점연결정리에 의해서(참고) FE와 선 BC는 서로 평행이고, BC의 길이는 선 FE보다 2배 길다는 것을 알 수 있다. 그리고 선 FE와 선 BC가 서로 평행이므로, GFEGCB는 서로 엇각으로 크기가 같고, GEFGBC도 서로 엇각으로 크기가 같다. 그래서 GBCGFE는 서로 닮음이라는 것을 알 수 있다.(AA닮음)(참고)

 


또 선 BC의 길이는 선 FE보다 2배 길기 때문에, GBCGFE의 닮음비는 2:1이라는 것을 알 수 있다. , GBC의 각 선의 길이가 GFE보다 2배씩 길다. 그래서 무게중심인 점 G를 중심으로 각 중선을 AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1이라는 비례식으로 나타낼 수 있다.

 


그리고 넓이에서도 특징이 하나 있는데, 먼저 ABC에 중선 AD를 그어서 삼각형을 2개로 나눠보자. 그러면 ABDADC밑선과 높이의 길이가 서로 같으므로, 넓이도 같다는 것을 알 수 있.(삼각형의 넓이는 1/2×밑선×높이로 구할 수 있는데ABD의 밑선은 BD이고, 높이는 AH. 그리고 ADC의 밑선은 DC이고, 높이는 AH)

 


, 중선으로 나누어진 삼각형들은 서로 넓이가 같다는 소리다. 그래서 중선으로 3개의 삼각형을 만들면, 3개의 삼각형은 모두 넓이가 같으며, 삼각형 1개의 넓이는 ABC1/3에 해당한다. 마찬가지로 중선으로 6개의 삼각형을 만들면, 6개의 삼각형은 모두 넓이가 같으며, 삼각형 1개의 넓이는 ABC1/6에 해당한다.





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Posted by 나부랭이

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