중2수학2017.07.28 15:14

닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비에 대해서 알아보자. 먼저 두 도형이 있을 때, 두 도형이 서로 닮음이라면, 대응하는 대응선의 길이의 비가 일정하다.(참고) 그런데 두 도형의 닮음비는 넓이의 비와 부피의 비와도 서로 관련이 있다. 예를 들어 사각형 ABCDEFGH가 서로 닮음인데, 닮음비는 1:2라고 하자.

 


그럼 두 도형의 둘레의 길이를 구해보면, 각각 10cm20cm가 나오고, 약분하면 닮음비와 같은 1:2라는 것을 알 수 있다. 그래서 두 도형이 서로 닮음이고, 닮음비가 m:n이라면 둘레의 길이의 비도 m:n이다. 하지만 두 도형의 넓이를 구해보면, 각각 6cm224cm2이 나오고, 약분하면 1:4가 되는 것을 알 수 있다. 그래서 두 도형이 서로 닮음이고, 닮음비가 m:n이라면 넓이의 비는 m2:n2이다.

 


다음으로 닮음비가 2:3인 두 입체도형이 있을 때, 두 입체도형의 겉넓이를 구해보면,(참고) 각각 24cm254cm2이 나오고, 약분하면 4:9가 되는 것을 알 수 있다. 그래서 넓이의 비와 마찬가지로, 두 입체도형이 서로 닮음이고, 닮음비가 m:n이라면 겉넓이의 비는 m2:n2이다. 그리고 두 입체도형의 부피를 구해보면,(참고) 각각 8cm327cm3이 나오고, 그대로 8:27이 되는 것을 알 수 있다. 그래서 두 입체도형이 서로 닮음이고, 닮음비가 m:n이라면 부피의 비는 m3:n3이다.

 


이렇게 두 도형이 서로 닮음이라면, 두 도형의 닮음비는 둘레의 길이의 비와 넓이의 비 그리고 겉넓이의 비와 부피의 비와도 서로 관련이 있는데, 위에서 다룬 것들을 표로 정리하면 아래와 같다.



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Posted by 나부랭이

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