중3수학2018.03.17 19:33

이차함수의 함수식 구하는 법을 알아보자. 일단 이전까지는 이차함수의 함수식을 보고, 꼭짓점의 좌표와 절편을 구하거나, 그래프 그리는 법에 대해서 알아보았다. 하지만 이번에는 주어진 조건을 활용해서, 이차함수의 함수식을 세워보자. 일단 이차함수의 함수식을 나타내는 방법은 크게 2가지가 있는데, 먼저 표준형인 y=a(xp)2+q와 일반형인 y=ax2+bx+c로 나타낼 수 있다.

 


그래서 이차함수의 함수식을 세울 때는, 위의 식 중에서 하나만 선택해서 함수식을 세우면 된다. 그래서 변수인 xy를 제외하고, 표준형은 apq값 구하는 것에 초점을 맞추면 되고, 일반형은 abc값 구하는 것에 초점을 맞추면 된다.

 

 

 

 

< 꼭짓점의 좌표와 그래프 위의 다른 한 점의 좌표를 알 때 >

먼저 꼭짓점의 좌표가 주어지면 함수식을 y=a(xp)2+q로 세우는 것이 좋다. 왜냐하면 y=a(xp)2+q에서 꼭짓점의 좌표는 (p, q)이므로, 꼭짓점의 좌표를 알면 y=a(xp)2+q에서 pq값을 바로 알 수 있다. 그다음 그래프 위에 있는 한 점의 좌표를 y=a(xp)2+q에 대입하면, a값을 구할 수 있다. 예를 들어 이차함수의 꼭짓점의 좌표는 (1, 2)이고, 그래프 위에 있는 다른 한 점은 (3, 6)이라고 해보자. 그럼 꼭짓점의 좌표가 (1, 2)이므로, 함수식을 y=a(x1)22라고 세울 수 있다. 그다음 그래프 위에 있는 다른 한 점은 (3, 6)이므로, x에는 3을 대입하고 y에는 6을 대입하자. 그러면 a=2가 나오므로, 최종적으로 함수식을 y=2(x1)22라고 세울 수 있다.

 

 

 

 


< 꼭짓점의 x좌표와 그래프 위의 서로 다른 두 점의 좌표를 알 때 >

일단 꼭짓점의 x좌표를 알면, y=a(xp)2+q에서 p값을 바로 알 수 있으므로, 함수식을 y=a(xp)2+q로 세우는 것이 좋다. 그다음 그래프 위에 있는 두 점의 좌표를 각각 y=a(xp)2+q에 대입한 후, 연립방정식을 풀어보면 aq값도 구할 수 있다. 예를 들어 이차함수의 꼭짓점의 x좌표가 2이고, 그래프 위에 있는 서로 다른 두 점은 각각 (5, 6) (1, 2)라고 해보자. 그럼 꼭짓점의 x좌표가 2이므로, 함수식을 y=a(x+2)2+q라고 세울 수 있다. 그다음 그래프 위에 있는 서로 다른 두 점 (5, 6) (1, 2)를 각각 함수식에 대입하면, 9a+q=6a+q=2가 나온다. 그래서 연립방정식을 풀어보면 a=1이 나오고 q=3이 나오므로, 최종적으로 함수식을 y=(x+2)23이라고 세울 수 있다.

 




 

< y절편의 좌표와 그래프 위의 서로 다른 두 점의 좌표를 알 때 >

먼저 y절편의 좌표가 주어지면 함수식을 y=ax2+bx+c로 세우는 것이 좋다. 왜냐하면 y=ax2+bx+c에서 c는 곧 y절편이므로, y절편의 좌표를 알면 y=ax2+bx+c에서 c값을 바로 알 수 있다. 그다음 그래프 위에 있는 두 점의 좌표를 각각 y=ax2+bx+c에 대입한 후, 연립방정식을 풀어보면 ab값도 구할 수 있다. 예를 들어 그래프 위에 있는 서로 다른 세 점이 각각 (0, 4) (1, 3) (2, 12)라고 해보자. 그럼 y절편의 좌표는 x값이 0이므로, (0, 4)가 바로 y절편의 좌표라는 것을 알 수 있고, y=ax2+bx+c에 대입하면 c=4가 나온다. 그래서 함수식을 y=ax2+bx+4라고 세울 수 있다. 그다음 나머지 두 점의 좌표를 각각 함수식에 대입하면, a+b=14a2b=16이 나온다. 그래서 연립방정식을 풀어보면 a=3이 나오고 b=2가 나오므로, 최종적으로 함수식을 y=3x2+2x+4라고 세울 수 있다.

 

 

 

 


< x절편의 좌표와 그래프 위의 다른 한 점의 좌표를 알 때 >

일단 두 x절편의 좌표를 알 때는, 식을 y=a(x–α)(x–β)로 세우는 것이 계산하기에 편하다.(함수식을 y=ax2+bx+c로 세우면 계산이 복잡해진다) 그다음 그래프 위의 있는 한 점의 좌표를 y=a(x–α)(x–β)에다가 대입하면, a값을 구할 수 있다. 예를 들어 그래프 위에 있는 서로 다른 세 점이 각각 (1, 0) (2, 0) (3, 8)이라고 해보자. 그럼 x절편의 좌표는 y값이 0이므로, (1, 0)(2, 0)이 바로 x절편의 좌표라는 것을 알 수 있고, 식을 y=a(x+1)(x2)라고 세울 수 있다. 그다음 그래프 위에 있는 다른 한 점은 (3, 8)이므로, x에는 3을 대입하고 y에는 8을 대입하자. 그러면 a=2가 나오므로, 함수식을 y=2(x+1)(x2)라고 세울 수 있다. 그런데 이차함수는 함수식을 표준형 또는 일반형으로 나타내므로, 식을 전개해보면 최종적으로 함수식을 y=2x22x4라고 세울 수 있다.



Posted by 나부랭이

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