중3수학2018.05.09 18:00

<가필드의 증명>

이전 글에 이어서, 이번에는 가필드가 증명한 방법인데, 하나의 직각삼각형 ABC가 있을 때, ABC와 크기가 똑같은 삼각형을 1개 더 추가로 그린 후, DA를 그어서 사다리꼴을 만들어보자.

 


그럼 사다리꼴 DECA의 넓이 = 2개의 직각삼각형의 넓이 + 직각삼각형 DBA의 넓이라는 것을 알 수 있는데, 식으로 나타내면 1/2(a+b)2=2×1/2ab+1/2c2이 된다.(사다리꼴의 넓이=1/2×(윗선+아랫선높이) 그리고 식을 풀어보면 c2=a2+b2이 나오면서, 피타고라스의 정리가 성립하는 것을 알 수 있다.

 

 

 

 


<유클리드의 증명>

다음은 유클리드가 증명한 방법인데, 먼저 하나의 직각삼각형 ABC가 있다고 해보자. 그럼 ABC의 세 선을 기준으로, 3개의 정사각형을 추가로 그린 후, 각 정사각형의 넓이를 구해보면, 각각 a2, b2, c2이 나온다.

 


그다음 선 FG와 수직을 이루는 선 CK를 그어보자. 그럼 EACEAB밑선높이의 길이가 서로 같으므로, 넓이가 같다는 것을 알 수 있다. 그리고 EABAFC는 두 선의 길이와 끼인 각의 크기가 서로 같으므로, 넓이가 같다는 것을 알 수 있다.(SAS 합동) AFCAFJ밑선높이의 길이가 서로 같으므로, 넓이가 같다는 것을 알 수 있다. 그래서 최종적으로 EACAFJ는 넓이가 서로 같고, 삼각형보다 넓이가 2배인 사각형 EACDAFKJ의 넓이도 서로 같다.

 



그리고 위와 같은 방법으로 넓이를 비교해보면, 사각형 CBHIJKGB의 넓이도 서로 같다. 즉 사각형 EACD의 넓이 + CBHI의 넓이 = AFKJ의 넓이 + JKGB의 넓이라는 것을 알 수 있고, 식으로 나타내면 c2=a2+b2이 나오면서, 피타고라스의 정리가 성립하는 것을 알 수 있다.




Posted by 나부랭이

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