중3수학2018.05.22 18:06

피타고라스 정리의 활용에 대해서 알아보자. 먼저 피타고라스의 정리에서 직각삼각형의 빗선의 제곱은, 직각을 낀 두 선의 제곱의 합과 같다고 했었는데, 이러한 특징은 직각삼각형뿐만 아니라 다른 여러 도형에서도 활용할 수 있다. 예를 들어 2개의 대각선이 수직으로 만나는 ABCD가 있다고 해보자.

 


그럼 대각선이 수직으로 만나기 때문에, ABCD4개의 직각삼각형 ABE, BCE, CDE, DAE로 나눌 수 있다. 그리고 점 E에서 각 꼭짓점까지의 거리를 각각 a, b, c, d라고 해보면, 피타고라스의 정리에 의해서 4개의 식을 얻을 수 있다.

 


그런데 식 을 서로 더하면 AB2+CD2=a2+b2+c2+d2이 나온다. 마찬가지로 식 를 서로 더하면 BC2+DA2=a2+b2+c2+d2이 나오는데, 둘 다 a2+b2+c2+d2이 나오므로, AB2+CD2=BC2+DA2이라는 것을 알 수 있다. 그래서 2개의 대각선이 수직으로 만나는 사각형에서는 AB2+CD2=BC2+DA2이라는 것을 알 수 있다.(공식보다는 그림으로 이해하는 것이 더 편하다)



또 다른 예로 하나의 직사각형이 있을 때, 직사각형 안에 임의의 점 P를 잡고, P에서 각 꼭짓점으로 직선을 그려보자. 그다음 점 P를 지나면서 선 AD와 평행하는 선 EG를 그리고, P를 지나면서 선 AB와 평행하는 선 HF를 그려보자.

 


그리고 HP의 길이를 a로 놓고, EP의 길이를 b로 놓고, FP의 길이를 c로 놓고, GP의 길이를 d로 놓으면, 피타고라스의 정리에 의해서 4개의 식을 얻을 수 있다.

 


그런데 식 을 서로 더하면 AP2+CP2=a2+b2+c2+d2이 나온다. 마찬가지로 식 를 서로 더하면 BP2+DP2=a2+b2+c2+d2이 나오는데, 둘 다 a2+b2+c2+d2이 나오므로, AP2+CP2=BP2+DP2이라는 것을 알 수 있다. 그래서 직사각형 ABCD 안에 임의의 점 P를 잡고, P에서 각 꼭짓점으로 직선을 그려보면 AP2+CP2=BP2+DP2이라는 것을 알 수 있다.



Posted by 나부랭이

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