중3수학2018.05.24 18:16

이전 글에 이어서 피타고라스 정리의 활용으로, 이번에는 하나의 직각삼각형이 있을 때, 빗선이 아닌 직각을 낀 두 선에 임의의 점 DE를 잡고, DE에서 꼭짓점 BC에 직선을 그린 후, D에서 E에도 직선을 그려보자. 그럼 총 4개의 직각삼각형 ABC, ADE, ABE, ADC가 생기는 것을 알 수 있다.

 


그다음 AD의 길이를 a로 놓고, DB의 길이를 b로 놓고, AE의 길이를 c로 놓고, EC의 길이를 d로 놓으면, 피타고라스의 정리에 의해서 4개의 식을 얻을 수 있다.

 


그런데 식 를 서로 더하면 BC2+DE2=a2+c2+(a+b)2+(c+d)2이 나온다. 마찬가지로 식 를 서로 더하면 BE2+CD2=a2+c2+(a+b)2+(c+d)2이 나오는데, 둘 다 a2+c2+(a+b)2+(c+d)2이 나오므로, BC2+DE2=BE2+CD2이라는 것을 알 수 있다. 그래서 직각삼각형 ABC의 빗선이 아닌 직각을 낀 두 선에 임의의 점 DE를 잡으면, BC2+DE2=BE2+CD2이라는 것을 알 수 있다.

 


다음으로 하나의 직각삼각형 ABC가 있을 때, ABC의 세 선을 기준으로 3개의 반원을 그린 후, 각 반원의 넓이를 D, E, F라고 하자.

 


그다음 AB의 길이를 a로 놓고, AC의 길이를 b로 놓고, BC의 길이를 c로 놓자. 그럼 원의 넓이는 πr2으로 구할 수 있으므로,(π×반지름2) 각 반원의 넓이를 구해보면 3개의 식을 얻을 수 있다.

 


그런데 DE를 서로 더해보면, 피타고라스의 정리에 의해서 1/8πc2이 나오면서, F와 같아진다는 것을 알 수 있다. 그래서 D+E=F라는 것을 알 수 있다.

 


이번에는 빗선을 지름으로 하는 반원을 삼각형과 겹치도록 반대 방향으로 그린 후, 겹치는 부분을 제외한 나머지 부분의 넓이를 각각 GH라고 해보자.

 


그럼 G+H도형 전체의 넓이에서 F를 빼면구할 수 있으므로, G+H=D+E+ABCF라는 식을 세울 수 있는데, 위에서 D+E=F라고 했으므로, G+H=ABC가 나온다. 그래서 G+HABC의 넓이와 서로 같으므로 G+H=ABC라는 것을 알 수 있다.



Posted by 나부랭이

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