중3수학2018.07.25 19:42

삼각비로 일반사각형의 넓이 구하는 법을 알아보자. 먼저 사각형의 넓이 구하는 공식은 밑선×높이인데,(가로×세로) 일반사각형은 모양이 제멋대로라서, “밑선높이를 정하기가 어렵다. 그래서 넓이를 구하기도 어려운데, 이때 일반사각형을 평행사변형으로 바꿔주면 넓이를 구할 수가 있다.

 


예를 들어 하나의 일반사각형 ABCD가 있을 때, 대각선인 AC의 길이는 8cm이고, BD의 길이는 10cm이며, 두 대각선으로 만들어진 예각의 크기는 60°라고 해보자. 그럼 ABCD는 모양이 제멋대로라서 밑선높이를 정하기 어렵지만, 일단 대각선 AC와 서로 평행하는 직선 EFHG를 그린 후, 대각선 BD와 서로 평행하는 직선 EHFG를 그려보자.

 


그러면 EFGH마주 보고 있는 두 쌍의 선이 서로 평행이므로 평행사변형이라는 것을 알 수 있는데, 세부적으로 EBOABFCOOCGDAODH 모두 평행사변형이라는 것을 알 수 있다. 그런데 평행사변형은 대선의 길이가 서로 같으므로, EF의 길이는 8cm이고, FG의 길이는 10cm라는 것을 알 수 있다. 또 평행사변형은 대각의 크기가 서로 같으므로, F의 크기는 60°라는 것도 알 수 있다.(참고)

 


그럼 평행사변형 EFGH만 놓고 봤을 때, E에서 FG에 수직하는 직선을 하나 그려보면, 직선 EI가 바로 높이라는 것을 알 수 있다. 그런데 EFI에서 sin60°=EI/8이므로, 식을 풀어보면 EI=4루트3이 나온다.(참고로 60°의 삼각비는 여기를 (참고)하면 된다) 그럼 평행사변형의 넓이 구하는 공식은 밑선×높이이므로, EFGH의 넓이는 40루트3cm2이 나온다.

 


그런데 세부적으로 사각형을 한 번 살펴보면, EBOA는 평행사변형인데 ABO는 그 절반에 해당한다.(대각선으로 나누어져 있으므로) 마찬가지로 BFCO도 평행사변형인데 BCO는 그 절반에 해당하고, OCGD도 평행사변형인데 OCD는 그 절반에 해당하며, 마지막으로 AODH도 평행사변형인데 AOD는 그 절반에 해당한다. 그래서 ABCD의 넓이는, EFGH의 넓이의 절반에 해당하므로, ABCD의 넓이는 20루트3cm2이 나온다.



Posted by 나부랭이

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