중3수학2018.08.15 18:59

삼각형의 내접원의 선의 길이 구하는 법을 알아보자. 먼저 하나의 삼각형이 있을 때, 삼각형 안에서, 삼각형의 세 선과 서로 접하는 원을 내접원이라고 부른다. 그런데 이전 글에서 알아보았던, 접선을 활용하면 삼각형의 둘레의 길이직각삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 구할 수 있다.

 

 

 

 

<삼각형의 둘레의 길이>

 


먼저 하나의 ABC와 그 내접원이 있다고 해보자. 그럼 원 밖에 있는 한 점에서 원까지 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로, 원 밖에 있는 한 점 A에서 원까지 그은 두 접선 ADAF의 길이는 서로 같고, 원 밖에 있는 한 점 B에서 원까지 그은 두 접선 BDBE의 길이도 서로 같으며, 원 밖에 있는 한 점 C에서 원까지 그은 두 접선 CECF의 길이도 서로 같다는 것을 알 수 있다.

 


그럼 ADAF의 길이를 x로 놓고, BDBE의 길이를 y로 놓고, CECF의 길이를 z로 놓으면, 삼각형의 둘레의 길이는 2(x+y+z)가 나온다.

 


예를 들어 하나의 ABC가 있을 때, AD의 길이는 6cm이고, BE의 길이는 9cm이며, CF의 길이는 5cm라고 해보자. 그럼 ABC의 둘레의 길이는 40cm가 나온다.

 


 

 

 

<직각삼각형의 내접원의 반지름의 길이>

 


다음으로 세 선의 길이가 각각 5cm, 4cm, 3cm인 하나의 직각삼각형 ABC와 그 내접원이 있다고 해보자. 그럼 선 ECFC는 반지름과 길이가 서로 같으므로 r이라고 놓을 수 있고, 그로 인해 BE=4r 그리고 AF=3r이라고 놓을 수 있다.

 


그런데 위와 마찬가지로 원 밖에 있는 한 점에서 원까지 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로, 세부적으로 각각의 길이가 서로 같다는 것을 알 수 있다. 그래서 BD=4r 그리고 AD=3r이라고 놓을 수 있는데, AB의 길이가 5cm이므로, 5=4r+3r이라는 식을 세울 수 있다. 그래서 식을 풀어보면 반지름 r=1cm가 나온다.



Posted by 나부랭이

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