중3수학2018.08.22 18:46

원주각과 중심각의 크기에 대해서 알아보자. 먼저 하나의 원이 있을 때, 원의 테두리에서 서로 만나는 두 개의 직선을 그려보자. 그러면 원의 테두리에 각이 하나 생기는데, 원의 테두리에 있는 각을 보통 원주각이라고 부른다. 그리고 원주각은 두 개의 직선이 서로 어느 위치에서 만나는지에 따라, 모양이 제각각이다.

 


또 원의 중심에 있는 각을 중심각이라고 부르는데, 원주각과 중심각의 의 길이가 서로 같다면, 원주각의 크기는 중심각보다 1/2배 작다. 몇 가지 예를 들면 아래와 같은데, 모두 호 AB를 기준으로 APB=1/2AOB이다. 참고로 증명하는 방법은 원주각이 어느 위치에 있느냐에 따라서 3가지로 나뉘는데, 하나씩 알아보자.

 


 

 

 

<원의 중심 OAPB의 한 선 위에 있는 경우>

 


일단 선 POAO는 모두 반지름이므로 길이가 서로 같다. 그래서 PAO는 이등변삼각형이라서 두 밑각의 크기가 서로 같다. 그런데 삼각형에서 한 외각의 크기는, 떨어져 있는 두 내각의 합과 같으므로,(참고) APB=1/2AOB이다.

 


 

 

 

<원의 중심 OAPB의 내부에 있는 경우>

 


먼저 점 P에서 원의 중심을 지나는 직선 PC를 그려보자. 그럼 PAOPBO가 생기는데, POAOBO는 모두 반지름이므로 길이가 서로 같고, PAOPBO는 모두 이등변삼각형이라서 두 밑각의 크기가 서로 같다. 그런데 삼각형에서 한 외각의 크기는, 떨어져 있는 두 내각의 합과 같으므로, APO=1/2AOC이고 BPO=1/2BOC이다. 그래서 최종적으로 APB=1/2AOB이다.

 


 

 

 

<원의 중심 OAPB의 외부에 있는 경우>

 


먼저 점 P에서 원의 중심을 지나는 직선 PC를 그려보자. 그럼 선 AOBOPO는 모두 반지름이므로 길이가 서로 같고, OAPOBP는 모두 이등변삼각형이라서 두 밑각의 크기는 서로 같다.(OAP=OPA이고 OBP=OPB이다) 그런데 삼각형에서 한 외각의 크기는, 떨어져 있는 두 내각의 합과 같으므로, BPO=1/2BOC이고 APO=1/2AOC이다. 그런데 원주각인 APB=BPO–∠APO이므로, APB=1/2BOC1/2AOC라는 것을 알 수 있다. 그래서 최종적으로 APB=1/2AOB이다.



Posted by 나부랭이

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