통계2014.10.09 15:26

정규분포 문제풀이를 해보자. 정규분포의 확률을 구하기 위해서는, 일단 공식을 사용하여 Z값을 구하는 표준화를 하고, 표준화를 통해 Z값이 나오면, Z값에 해당하는 확률을 표준정규분포표에서 찾으면 된다. 그럼 정규분포 문제를 몇 가지 풀어보자.

 

 

 

1. A라는 전구회사에서 생산하는 전구의 수명은 평균이 800일이고 표준편차는 40일인 정규분포를 따른다고 한다. 이때 전구의 수명이 750일 이하일 확률을 구하시오.

                          

공식을 통해 정규분포 표준화를 하면 Z= -1.25가 나온다. 이전 포스팅(참고)에서 -Z값은 정규분포의 좌우대칭인 특징을 이용한다고 했는데, 일단 1.25에 해당하는 확률을 정규분포표에서 찾으면 0.89435가 나오고, 1-0.89435를 하면 1.25에 해당하는 확률 0.10565 or 10.565%가 나온다.

 

 

 

2. 어느 한 회사에 다니는 종업원들의 근무기간을 조사하였더니, 평균은 11년이고 분산이 16년인 정규분포를 따른다고 한다. 이때 20년 이상 근무한 종업원의 비율을 구하시오.

이 문제에서 조심해야 할 것은 표준편차가 아니라 분산의 수치가 나와 있다. 그래서 분산을 표준편차로 바꿔줘야 하는데, 분산 16에 루트를 씌우면 표준편차는 4가 나온다. 그다음에 정규분포 표준화를 해보면 Z= 2.25가 나오는데, 2.25에 해당하는 확률을 표에서 찾으면, 0.987776이 나온다. 하지만 한 가지 주의해야 할 것은 이상일 확률을 구하기 때문에 1-0.987776을 해줘야 한다. 그래서 구하는 비율은 1-0.987776 = 0.012224 or 1.2224%가 나온다.

                                  

 

 

 

3. 어느 고등학교 3학년 학생들의 수학성적은 평균이 70이고 표준편차가 8인 정규분포를 따른다고 한다. 이때 점수가 80점 이상이고 90점 이하인 학생의 비율을 구하시오.

정규분포 공식으로 표준화를 하면 Z값은 각각 1.252.5가 나온다. 일단 이 문제의 확률을 구하려면 2.5의 확률에서 1.25의 확률을 빼줘야 하는데, Z2.5에 해당하는 확률을 표에서 찾으면 0.99379가 나온고, Z1.25에 해당하는 확률은 0.89435라는 것을 알 수 있다. 그래서 구하고자 하는 확률은 0.99379-0.89435 = 0.09944 or 9.944%가 나온다.

                             

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Posted by 나부랭이

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  1. 한가지 질문이 있습니다.

    곧 시험기간이라 문제풀이 위주로 하고 있는데 저런 유형의 문제가 나오면 헷갈리는 게 있습니다.

    1번 문제 같은 경우에 X값으로 설정한 것이 0,1,2,....n이런식으로 나가는 단위를 갖는 경우일때 인데요
    (예를 들어서 불량품의 개수, 전구의 수명, 학생의 수 등등...)


    이런 경우에 1번 문제처럼 전구의 수명이 750일 이하일 확률을 구하시오

    이런식으로 나오면 제가 생각하기로는

    전구의 수명이라는 것이 최소 0시간 부터 시작하기 때문에

    P(0<X<750) 이렇게 놓고 풀고 있는데

    또 어떤 곳은 P(X<750)이라고만 놓고 푸는 경우도 있더라구요

    이 두개의 차이점을 알고 싶습니다.

    실제로 값차이는 많이 안나더라구요.

    표에 있는 값이면 많이 나야 0.0006 이정도??

    2014.10.17 23:32 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • P(0≤X≤750)와 P(X≤750)는 서로 같은 상황이에요. 단지 0부터 시작하는 것이 당연하기 때문에, 편의상 P(0≤X)를 생략하고, P(X≤750)만 사용합니다.

      참고로 2번 문제의 P(X≥20)도 P(∞≥X≥20)라고 할 수 있어요. 그런데 ∞까지 인 것이 당연하기 때문에, P(∞≥X)를 생략하고, 편의상 P(X≥20)만 사용합니다.

      그리고 2개는 동일한 상황이므로 확률값이 같아요. 0.0006의 오차가 나온 것은, Z값을 잘못 구했거나, 아니면 표에 오차가 있거나(표마다 수치도 약간 차이가 있을 수 있어요)일 거에요. 정확한 이유는 문제를 직접 보지 못해서 잘은 모르겠네요;;

      2014.11.23 13:53 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  2. 확률을 구할때
    왜 "이상" 확률을 구할때는
    1에서 값을 빼줘야 하는지를 모르겠어요
    "이하" 일때도 마찬가지구요ㅠㅠ
    설명해주세요

    2014.12.10 19:05 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 그건 이전 포스팅에 내용이 있으니,

      이전 포스팅을 참고하세요.(http://math7.tistory.com/48)

      2014.12.10 20:23 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  3. 에에에에에엥

    3번 문제 0.09944 아닌가요??? 제가 잘못이해한건가

    2014.12.18 02:29 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  4. 강하게돌아와라

    질문 하나 해도 될까요,,

    좌표평면의 원점 위에 놓인 말이 다음 규칙에 따라 이동한다.
    (가) 주사위를 한번 던져 제곱수의 눈이 나오면 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 이동한다.
    (나) 주사위를 한번 던져 제곱수의 이 외의 눈이 나오면 x축 방향으로 -1만큼, y축 방향으로 -1만큼 이동한다.
    주사위를 162번 던졌을 때, 말이 도착한 점의 좌표 (x,y)에 대하여
    x^2 + y^2 > 162
    일 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.

    부탁드립니다~

    2015.06.13 17:02 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  5. 무명

    보통 정규분포 나타날때 N(m , σ^2)인데... 왜 N(μ , σ^2)표현하는지 설명 좀 부탁드리겠습니다.

    2015.07.22 17:59 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 정확하게 뭘 물어보시는 건지 모르겠네요.

      그리고 원래 m보다는, μ가 더 올바른 기호입니다.

      단지 한국사람들이 알파벳에 더 익숙하기에,

      m으로 나타내는 경우도 있습니다.

      2015.07.23 16:00 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  6. 평균 80 표준편차4일때 p(x<75)이면 왜 1에서 빼주지않고 분포표를 보고한 그자체가 답인가요?

    2015.12.10 13:20 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  7. 질문있습니다.

    안녕하세요, 포스팅 즐겁게 보고 있습니다. 여기서부터 조금씩 헷갈리기 생기기 시작했습니다.
    문제에서 정규분포로 가정을 하고 문제를 풀고 있습니다.
    날짜, 년도, 점수 같은 경우는 이산형 분포로 볼 수 있을까요?

    혹시 이것이 맞다면, 시간이 주어진 경우는 포아송, 점수가 주어진 경우는 이항분포로 생각해 볼 수 있나요?
    3번 문제로 예를 들어보면,
    학생수 n, 확률 p, 평균 np, 표준편차 sqrt(np(1-p))
    np = 70
    sqrt(np(1-p)) = 8

    n 과 p를 구하고,
    (nCx)*(p^x)*((1-p)^(n-x))
    식에 대입해서 80~90점 얻을 확률을 구하는 이런식으로요...

    이산분포와 연속분포를 적용하는 경우가 헷갈려서 질문 드렸습니다.

    2016.09.26 01:33 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]