통계2014.10.22 15:09

카이제곱분포표 보는 법을 알아보자. 카이제곱분포(χ2)t분포와 마찬가지로 직접 확률을 구할 때 사용하는 분포가 아니라, 신뢰구간이랑 가설검정 시 사용하는 분포다. 이렇게 두 분포의 활용도가 비슷하기에, 카이제곱분포표 보는 법은 t분포표 보는 법(참고)과 매우 비슷하다. 그리고 카이제곱분포로 신뢰구간이랑 가설검정을 할 때는 χ2값을 알아야 하는데, χ2값을 구하는 방법의 하나가 카이제곱분포표를 사용하는 것이다. 그래서 카이제곱분포표는 χ2값을 중심으로 표가 구성되어있다. 그럼 카이제곱분포표 보는 법을 알아보자.

 

 

일단 카이제곱분포표의 기본 골격은 t분포표와 같은데, y축 좌표는 자유도를 다룬다. 그리고 x축 좌표는 확률을 다루는데, 보통 신뢰구간이랑 가설검정 시 주로 사용하는 확률로 미리 몇 가지 정해져 있다. 그리고 신뢰구간이랑 가설검정 등에서 다루는 확률을 보통 α(알파)라고 하는데, 이 확률은 카이제곱분포의 오른쪽 면적에 해당한다.

                    

 

 

그런데 카이제곱분포표와 t분포표과 다른 점이 있는데, 그것은 그래프의 왼쪽 x축 좌표를 구하는 방법이다. t분포는 좌우대칭이기 때문에 -값을 붙이면 왼쪽 x축 좌표를 구할 수 있는데, 카이제곱분포는 좌우대칭이 아니기 때문에, t분포의 방식으로는 왼쪽 좌표를 구할 수가 없다. 또 카이제곱분포표는 오른쪽 면적만 다룰 뿐, 왼쪽 면적은 다루지를 않는다. 그래서 그래프의 총면적이 1이라는 특징을 활용하는데, 그래프의 총면적은 1이므로 왼쪽 면적을 α라고 가정하면, 오른쪽 면적은 1-α가 된다. 그래서 왼쪽 χ2값을 구할 때는 1-α를 사용하면 된다.

 

    

그런데 이 부분이 조금 헷갈릴 수가 있다. 왜냐하면 표에는 α만 나와 있기 때문인데, 이것은 표를 단순화하기 위해서 그런 것일 뿐, 실상은 조금 다르다. 그래서 단순하게 왼쪽에 있는 확률은 1-α이고, 오른쪽에 있는 확률은 α라고 생각하면 된다.

 

 

  

그리고 신뢰구간 추정이랑 가설검정을 할 때는 양쪽 χ2값을 구해야 하는 경우가 많다. 이런 경우에는 α가 양쪽으로 나뉘기 때문에, 나누기 2를 해서 α/2를 해야 한다. 그런데 왼쪽 χ2값은 1-α로 구하므로 1-α/2를 해야 한다. 그럼 몇 가지 문제를 통해 χ2값 구하는 법을 알아보자.

    

  

  

1. 표본이 7개이고 α=0.1일 때, 해당하는 χ2값을 구하시오.

7개의 표본이므로 자유도는 n-1=7-1=6이다. 그리고 확률은 α=0.1, 표에서 해당 χ2값을 찾으면 10.64가 나온다.

   

 

 

2. 자유도가 9이고 α=0.05일 때, 그래프의 왼쪽 χ2값을 구하시오.

자유도는 9이고 α=0.05인데, 한 가지 주의할 점은 오른쪽 χ2값이 아니라 왼쪽 χ2값이다. 왼쪽 χ2값은 1-α로 구하는데, 그래서 표에서 1-0.05=0.95의 확률을 찾아야 한다. 해당 값을 표에서 찾으면 χ2값은 3.33이다.

    

 

3. 자유도가 7이고 α=0.1, 양쪽 두 개의 χ2값을 구하시오.

양쪽 값을 구할 때는 나누기 2를 해줘야 하므로 α/2를 해준다. 하지만 왼쪽 값은 1-α이기에 1-α/2를 해준다. 그래서 왼쪽 χ2값에 해당하는 확률은 1-α/2=1-0.05=0.95가 나오고, 오른쪽 확률은 α/2=0.1/2=0.05가 나온다. 그리고 자유도는 7로 각각의 χ2값은 2.1714.07이 나온다.

   

 

마지막으로 카이제곱분포에 관한 문제는 나중에 신뢰구간 추정이랑 가설검정 그밖에 적합도 검정, 동질성 검정, 독립성 검정에서 알아보도록 하자. 그럼 다음 포스팅에서는 F분포에 대해서 알아보자.

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Posted by 나부랭이

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  1. 카이제곱 검정에서 양측검정시 기각역은 두 개가 나오는 것인가요?
    그럼 검정통계량이랑 비교를 해야될텐데 어떻게 하죠..?
    그리고 예시문제인데 막혀서 그러는데 좀 풀어주실수 있나요?

    p(x2 > 18.5494)와 p(x2 < 6.30380)이고 df는 12일 때 x2분포곡선을 이용하여 구하시오.
    이 문제에서는 a(알파)를 찾아내면 되나요? 답도좀 알려주세요 막혀서 미칠것같아요

    2014.12.07 15:12 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 카이제곱도 양측검정 시 기각역은 양쪽 두 개입니다.

      일단 먼저 검정통계량을 구하세요.

      그런 다음 기각역과 비교해야 하는데,

      아래의 3가지 중의 하나일 겁니다.



      1. 검정통계량이 6.30380보다 작으면, 귀무가설이 탈락(기각)입니다.

      2. 검정통계량이 18.5494보다 크면, 귀무가설이 탈락(기각)입니다.

      3. 검정통계량이 6.30380보다 크고 18.5494보다 작으면(6.30380~18.5494안에 위치하면),
      귀무가설이 채택입니다.



      만약에 검정통계량이 5가 나왔다면, 위의 1번에 해당하므로, 귀무가설이 탈락(기각)입니다.

      만약에 검정통계량이 20이 나왔다면, 위의 2번에 해당하므로, 귀무가설이 탈락(기각)입니다.

      만약에 검정통계량이 10이 나왔다면, 위의 3번에 해당하므로, 귀무가설이 채택입니다.



      그리고 α는 몰라도 상관없을 것 같은데,

      만약 구해야 한다면 α는 10%입니다.

      자유도12 일 때,

      α=0.1은 18.55 (18.5494)

      1-α=0.9는 6.30 (6.30380)

      2014.12.07 15:49 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  2. 오 감사합니다!! 완전 이해가쉽군요 ㅎㅎ
    그리고 위의 예시문제는 어떻게 하라는건지 문제 자체가 이해가 안돼서요 ㅠㅠ
    알파를 구하라는 건지...뭘 구하는거죵?ㅋ

    2014.12.07 16:11 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  3. 아! 아닙니다 ㅋㅋㅋ 표를 그려서 표시만 하면 되는거네요!! 답변감사합니다~!

    2014.12.07 16:20 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  4. 구울

    쉽게 이해가 됐습니다 고맙습니다
    한가지 질문해도 될까요
    카이제곱분포표에서 알파값이 0.5를 기준으로 왼쪽 오른쪽 면적으로 나뉘는데요
    그럼 알파값 0.5의 X^2는 어떻게 봐야할까요?
    이 표가 일반적으로 오른쪽 면적을 보여주니 오른쪽 면적이라고 봐야 하나요?

    2015.01.28 16:44 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 뭐.. 두 개 다 해당하기는 하지만,

      굳이 나누라면 그렇게 보는 게 낮겠죠~



      그런데 제가 봤을 때 0.5는,

      사용하기 위해서 넣은 게 아니라,

      그냥 표에 "기준" 잡아주려고 넣은 거 같아요.



      실제로 0.5를 사용하는 경우는 본 적이 없습니다.

      그래서 그냥 빼버려도 상관은 없을 것 같아요 ~_~

      2015.01.28 17:23 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  5. 구울

    답변 고맙습니다 ~

    2015.01.29 21:52 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  6. 통계좆밥

    흘러흘러 들어왔는데 이해하기 정말 쉽게 글 써주셨네요
    문과생인데 통계학 듣느라 골치아팠는데 도움 많이 받고 갑니다 감사합니다

    2015.04.12 00:06 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  7. 와... 진짜

    와... 나부랭이님 아니었으면 제 학점 어쩔 뻔했어요.... 가장 친한 동기가 저에게 이 블로그 귀띔해줬는데 정말정말정말 도움됩니다. 정말 사람이 살 구멍이 있네요. 사랑합니다 나부랭이님

    2015.04.13 00:51 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  8. 와... 진짜

    나부랭이님 질문있습니다ㅎㅎ
    교수님께서 카이제곱분포의 평균은 자유도 r이고 분산은 2r이라고 하셨는데 그 이유가 궁금합니다
    나아가 t분포의 경우 평균은 당연히 0인데 분산이 r/r-2(r>3)인거 하구요..
    설명해주시면 정말정말 감사하겠습니다 ㅜㅜㅜ

    2015.04.15 00:04 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  9. 공돌이1

    카이젝제곱분포표를통해 얻은 '카이제곱'이라는건 그 sample들의 분산값을 의미하는것인가요?

    2015.10.11 18:12 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  10. 이슈

    카이제곱 검정을 이용할 때, 양측 검정을 하는 이유가 무엇인가요?

    가능하다면 예제를 들어서 설명해주실 수 있을까요?

    2016.09.01 14:07 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 사실 양측검정은 안 할 수만 있다면, 안 하는 게 좋습니다.

      아랫글 맨 밑에 관련 내용이 조금 있으니 참고하세요.

      http://math7.tistory.com/100

      2016.09.03 15:24 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  11. 자유도는 어떻게 구하는 건가요? 변량의 개수-1인가요?

    2017.03.21 23:57 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  12. 나브랭이

    그런데 카이제곱그래프는 왜 숫자가 높은 %가 0에 가까운건지, 알파확률도 오른쪽끝의 면적을 말하는건지 알려주실수있나요 ~~알려주세요오

    2017.04.10 23:56 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]