통계2014.11.01 19:38

모평균의 신뢰구간 구하는법(σ를 아는 경우)을 알아보자. 모평균의 신뢰구간은 크게 모표준편차인 σ를 아는 경우σ를 모르는 경우 이렇게 두 가지로 나뉘는데, 이번 포스팅에서는 σ를 아는 경우에 대해서 알아보자. 사실 무엇인가를 조사할 때는 모집단의 표준편차인 σ를 모르는 경우가 대부분이다. 하지만 기업이나 특정 조사기관에서는 수십 년에 걸쳐서 자료를 수집하기도 하기에, 모표준편차를 아는 경우도 있다. 물론 이러한 자료들이 모집단의 모수는 아니지만, 그 수가 워낙에 방대하기에 모수로 취급되기도 한다. 그래서 모수인 모표준편차(σ)를 아는 경우가 종종 있다.

일단 신뢰구간을 구할 때는 각각에 맞는 확률분포를 사용하는데, σ를 아는 경우에는 정규분포를 사용한다. 그런데 신뢰구간은 구간의 길이를 구하는 것이기 때문에, 정규분포 그래프의 x축 좌표를 활용할 뿐, 그래프의 면적으로 확률을 구하는 것은 아니다.

 

 

그리고 이전 포스팅에서 신뢰구간을 추정할 때는 α/2가 많이 나온다고 했는데, 정규분포의 α/2면적에 해당하는 x축 좌표가 Zα/2이므로, ±Zα/2가 정규분포 그래프의 양쪽 x축 좌표가 된다. ±Zα/2와 정규분포 표준화 공식을 활용하면 신뢰구간 공식을 유도할 수가 있는데, 모평균 μ를 중심으로 공식을 풀면 된다. 왜냐하면 모평균의 신뢰구간은, 모평균 μ의 신뢰구간을 구하는 것이기 때문이다. 그럼 μ를 중심으로 공식을 풀어보자.

 

 

이렇게 해서 모평균의 신뢰구간(σ를 아는 경우) 공식은 다음과 같이 된다. 공식을 외우기가 버거우면 이렇게 유도를 해도 된다. 그럼 모평균의 신뢰구간에 대한 문제를 하나 풀어보자.

 

 

 

 

1. 어느 회사에서 생산하는 제품의 평균수명을 조사하는데, 이 제품의 모표준편차(σ) 40일이라고 한다. 이때 표본 100개를 뽑아 제품의 수명을 측정하였더니, 평균이 800일이 나왔다고 한다. 이때 제품의 평균수명에 대한 90% 신뢰구간, 95% 신뢰구간, 99% 신뢰구간을 추정하시오.

90% 신뢰구간은 α0.1이므로, α/20.05가 된다. α/2에 해당하는 Z값은 면적 0.95에 가장 가까운 Z값을 찾으면 되는데, 표준정규분포표()에서 해당 Z값 찾으면 1.64가 가장 가까운 것을 알 수 있다.(Z값으로 1.645를 쓰기도 하는데, 1.645가 더 정확하기는 하다.) 그래서 ±Zα/2=±1.64이고 =800, σ=40, n=100으로, 신뢰구간 공식에 대입해서 신뢰구간을 구해보면, 90% 신뢰구간은 793.44806.56이 된다.

 

 

95% 신뢰구간은 α/2=0.025이므로, α/2에 해당하는 가장 가까운 Z값은 1.96이 된다. 그래서 신뢰구간은 792.16807.84가 된다.

 

 

 

99% 신뢰구간은 α/2=0.005이므로, α/2에 해당하는 가장 가까운 Z값은 2.58이 된다.(2.57을 쓰기도 한다.) 그래서 신뢰구간은 789.68810.32가 된다.

 

 

 

위의 세 가지 경우를 비교해보면, 99%의 신뢰구간이 가장 긴 것을 알 수 있다. 아무래도 구간의 길이가 길면, 모수가 구간 안에 포함될 확률이 올라가기에, 99%의 신뢰구간이 가장 긴 것이다. 그리고 보통 신뢰구간은 90%, 95%, 99%, 이렇게 세 가지의 경우를 많이 구하기 때문에, 매번 표로 찾기 보다는 해당 퍼센트에 맞는 Z값을 미리 알아두면 편하다. 해당 Z값을 표로 나타내면 다음과 같다.

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Posted by 나부랭이

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  1. 타마마

    매 강의강의마다 너무 잘보고있습니다 ㅜㅜ! 감사합니다!
    혹시 강의를 프린트 할 수 있는 방법은 없을까요?
    출력물로 뽑아서 공부하면 더 수월하게 할수 있을거같은데 ㅜㅜ

    2014.11.30 18:47 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  2. 와...진짜 정리잘되있네요!! 감동

    2014.12.13 19:54 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  3. 통계잉잉

    안녕하세요! 매번 강의 잘 보고 있습니다. 항상 감사할 따름입니다.
    다름이 아니라, 뮤를 중심으로 공식을 푸는 과정에서
    부등식 가운데에 위치한 (엑스바 - 뮤)/(시그마 / 루트 n)은 어디서 도출되는 건지 알 수 있을까요?
    좋은 하루 되세요 감사합니다 :D

    2014.12.14 00:56 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 그건 저도 모르겠네요ㅋㅋ

      그래서 그냥 외웁니다 ~_~;;



      단지 그 공식은 정규분포를 사용할 때마다 나오는 공식이므로,(확률 구할 때, 신뢰구간, 가설검정)

      반드시 알아야 하는 공식입니다.

      2014.12.14 13:47 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
    • smwgf

      정말 좋은글 잘보았습니다.
      저도 (엑스바 - 뮤)/(시그마/루트n)이 이해가 되지 않아 여러가지 찾아보고 답변 남기고갑니다.
      해당 수식은 표본평균들의 정규분포를 표현한 식입니다. 이말도 햇갈려서 한참을 이해하지 못하였습니다.
      Z=(x-평균)/시그마 입니다. 이때 x대신에 표본평균들을 대입하면 X대신에 표본평균인 엑스바가 대입되고 시그마대신에 (시그마/루트n)이 대입됩니다.
      표본평균들의 표준편차는 시그마/루트n 입니다.

      2017.02.10 22:31 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  4. aiko

    아 진짜 고맙습니다..ㅠ 통계학입문이라는 강의 들으면서
    교수님이 하나하나 친절하게 설명안해주시는 부분이 많아서
    외계어 듣는 느낌이었는데..ㅠㅠ
    통계 포스팅들 보고 나니깐 어느정도 이해가 가네요..ㅠ
    정말 감사합니다.. 뭐라도 보답해드리고 싶을정도네요

    2015.05.05 09:54 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 저도 예전에 외계어 번역하느라, 고생 좀 했었죠~

      물론 결국에는 포기하고, 독학했습니다 ~_~ㅋ

      2015.05.05 13:38 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  5. 1111

    감사합니다. 외국에서 MBA 공부하는 학생입니다.
    배우는 사람입장에서 친절히 설명해주셔서 정말 큰 도움이 되고 있습니다.

    최곱니다!!

    2015.07.02 13:44 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  6. 통계공부하는 사람

    정말 친절하게 잘 정리해주셔서 감사합니다.

    2015.12.03 20:21 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  7. 최고에요

    댓글을 남기지 않고 지나칠수가 없었습니다.
    이런 블로그 운영해주셔서 너무너무 감사합니다 복받으실거에요~

    2015.12.06 15:11 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  8. 감사해서 도저히 걍 지나칠 수가 없네요 ㅠㅠ 제가 고딩일 때 여길 봤다면 더 재밌게 했을텐데 싶네요^^

    2016.01.09 18:12 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  9. 하나의길

    정규뷴포의 Z값 공식에서 느닷없이 루트N이 등장하는 이유는 알아야 하지 않을까요?
    무조건 외우기에는 찝찝한데 방업이 없는지요?

    2016.04.03 11:46 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  10. 글 잘읽었습니다. 이런문제에도 위와같은 추정을 적용할 수있나요?
    1만명에 대하여 이직율을 조사하려고 400명을 추출하였는데 40명이 이직하였다는 결과가 나왔을때, 이직자의 최대추정치는?
    위 문제도 모잡단의 평균을 추정하는거 같은데 식 적용을 도저히 못하겠어서요ㅜㅜ 답변부탁드립니다!!

    2016.04.06 22:11 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  11. 대기

    통계가 뭔지 하나도 모르는 상태에서 글 보고 많이 배웁니다 설명을 쉽게 잘하시네요 감사합니다

    2016.11.05 18:12 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  12. 니키

    평균이 24 편차가 2.4 인 데이터와
    평균이 34 편차가 1인 데이터중 뭐를 더 신뢰할 수 있는 걸까요?ㅠㅠㅠㅠㅠ 가르쳐주시면 정말 감사하겠습니다

    2016.11.07 03:42 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 평균이랑 편차는 데이터값의 특징일 뿐,

      이것만 가지고 무엇을 더 신뢰할지 판단하는 것은,

      무리가 있어 보이네요~

      2016.11.09 14:21 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  13. 수포자

    혹시 z값에 대해 더 자세히 설명해 주실 수 있나요?

    2016.11.10 11:09 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  14. 대학생

    교양강의때 통계 듣고 이해 잘 안됬었는데 이글보고 잘 이해할수 있었어요! 감사합니다 ㅎㅎㅎㅎ

    2017.05.06 12:45 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  15. 허접

    이해가 안되서 답답해 하던차에 검색하다 보았는데 바로 이해가 됬네요 근데 제가 보는 책에는 표준정규분포표가 확률이 0.4990까지 밖에 안나와있는데 이표로도 Z값을 구할 수 있나요?

    2017.05.16 16:39 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  16. 감사합니다~^^

    2017.09.26 08:44 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]