통계2014.11.14 17:54

두 모분산의 신뢰구간 구하는법을 알아보자. 예전 포스팅에서 다루었던 두 모평균의 추정은 두 집단의 평균이 얼마가 차이 나는지를 추정하는 것이었는데, 두 모분산의 추정 역시 두 집단의 분산이 얼마가 차이 나는지를 추정하는 것이다. 하지만 가장 큰 차이점은, 과연 어떠한 방법으로 차이를 비교하느냐인데, 분산은 평균과는 다른 방법으로 두 집단을 비교한다.

보통 두 집단의 차이를 비교하는 방법은 2가지가 있는데, 바로 뺄셈나눗셈이다. 일단 뺄셈으로 두 집단을 비교할 경우, 0에 가까워질수록 두 집단은 점점 비슷해지고, 0에서 멀어질수록 두 집단은 점점 차이가 난다는 소리다. 예를 들어 7-7=0인 이유는, 두 개의 7이 서로 같기 때문이다. 그런데 모평균은 이 뺄셈으로 차이를 비교한다. 반면에 나눗셈으로 두 집단을 비교할 경우, 1에 가까워질수록 두 집단은 점점 비슷해지고, 1에서 멀어질수록 두 집단은 점점 차이가 난다는 소리다. 예를 들어 7/7=1인 이유는, 두 개의 7이 서로 같기 때문이다. 그런데 모분산은 이 나눗셈으로 차이를 비교한다.

 

 

그런데 뺄셈과 나눗셈, 두 개 모두 차이를 비교할 수 있는 방법이라면, 뺄셈 하나만 사용하면 될 것을 귀찮게 나눗셈은 왜 사용할까? 일단 그 이유는 확률분포에 있다. 보통 신뢰구간 추정 시에는 확률분포를 사용한다고 했는데, 두 모평균의 경우에는 뺄셈을 해도 정규분포나 t분포를 사용할 수가 있다. 그런데 두 모분산의 경우에는 뺄셈을 하면 사용할 분포가 없다.(분산은 카이제곱분포를 사용한다.) 그래서 나눗셈을 하는 것이고, 2개의 분산을 나누었을 때 사용할 수 있는 분포가 F분포다.(F분포는 카이제곱분포 2개를 나눠서 만든 분포다.) 그래서 두 모분산의 신뢰구간은 F분포를 사용해서 추정한다.

 

 

 

 

일단 두 모분산의 신뢰구간은 F분포 그래프의 양쪽 x축 좌표를 사용하는데, 모수가 신뢰구간 안에 포함되지 않을 확률 α를 활용한다. 그런데 α가 양쪽으로 나뉘기 때문에 α/2가 되고, α/2에 해당하는 그래프의 x축 좌표는 다음과 같다.(참고)

 

 

그리고 신뢰구간을 구하기 위해서는, 양쪽 x축 좌표와 함께 F통계량 공식도 필요하다. F통계량 역시 그래프의 x축 좌표를 구하는 F분포의 공식인데, 나중에 가설검정과 분산분석에도 사용되는 공식이다.(가설검정과 분산분석에서는 약간 변한다.) 그런데 위에서 F분포는 2개의 카이제곱분포를 서로 나눠서 만든 분포라고 했는데, 정확하게는 나누기 이전에 한가지 단계를 더 거친다. 그것은 뭐냐면, 각각의 카이제곱분포를 일단 자신들의 자유도로 나눈 다음그다음 서로 나눠줘야 F분포가 된다. 그래서 통계량도 각각의 카이제곱통계량을 일단 자신들의 자유도로 나눈 다음, 그다음 서로 나눠줘야 F통계량을 얻을 수가 있다. 그림으로 표현하면 다음과 같다.

 

 

F통계량과 α/2에 해당하는 x축 좌표를 활용하면 신뢰구간 공식을 유도할 수가 있는데, 두 모분산을 나눠서 차이를 비교하는 것이기 때문에, 두 모분산 σ2을 중심으로 공식을 재배열하면 된다. 재배열해서 얻어낸 신뢰구간 공식은 다음과 같은데, 그럼 다음 포스팅에서는 문제풀이를 해보자.

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Posted by 나부랭이

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  1. 목동검도인

    덕분에 많이 배우고 있습니다.

    한가지 물어볼게 있는데요

    역수를 취하면 부등식 등호가 바뀌는 거 아닌가요?

    이전 포스팅에서는 역수를 취해서 등호가 바뀌는 걸로 나와있는데 이번 포스팅에서는 안바뀌고 이 다음것도 이공식 대로 되서요...

    수학 무식자라서 이해를 잘 못하겠는데 설명 좀 부탁드릴께요

    2016.02.18 12:50 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 부등호가 바뀐 겁니다.

      그래서 오른쪽에 있던 식이 왼쪽으로 가고,

      왼쪽에 있던 식이 오른쪽으로 간 겁니다.

      뭐 유도 과정을 좀 더 자세히 써보면,(기호는 단순화했습니다)
      


      1/F ≤ sσ/sσ ≤ F


      s/s×1/F ≤ σ/σ ≤ s/s×F


      s/s×F ≥ σ/σ ≥ s/s×1/F (글에서는 부등호가 바뀌는, 이 식을 "생략"했습니다)


      s/s×1/F ≤ σ/σ ≤ s/s×F (최종적으로, 오른쪽 식을 왼쪽으로 보내고, 왼쪽 식을 오른쪽으로 보낸 식)

      2016.02.19 16:02 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  2. 목동검도인

    이해했습니다. ㅎㅎ 감사합니다.

    2016.02.22 12:55 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  3. 비밀댓글입니다

    2017.06.03 10:40 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]