통계2014.11.15 17:17

두 모분산의 신뢰구간 문제풀이를 해보자. 일단 두 모분산의 신뢰구간은 두 집단의 분산이 얼마나 차이 나는지를 구간추정하는 것인데, 이전 포스팅에서 차이를 비교하기 위해 나눗셈을 한다고 했다. 그래서 나누기를 통한 표본분산 비 s12/s22으로, 두 모분산 비 σ12/σ22을 추정하는 것이다. 그리고 계산을 통해서 나온 추정값이 1에 가까울수록, 두 집단의 분산차이는 얼마 나지 않는다고 해석할 수 있다. 그럼 몇 가지 문제를 풀어보자.

1. 어느 특정실험에 대한 실험방법이 2가지가 있는데, 실험1과 실험2의 분산이 얼마나 차이 나는지를 비교한다고 한다. 그래서 각각 표본 5개와 4개를 뽑아 분산을 분석하였더니, 각각 1412가 나왔다고 한다. 이때 두 모분산 비 σ12/σ22에 대한 90% 신뢰구간을 구하시오.

90%의 신뢰구간이므로 α/2=0.05이고, n1-1=4 그리고 n2-1=3이다. 일단 0.05에 해당하는 F값을 F분포표()에서 찾으면, 왼쪽신뢰구간에 해당하는 F값은 9.12가 나온다. 그리고 오른쪽신뢰구간 F값은 6.59나온다.(자유도가 서로 바뀐다.) 문제를 풀어보면 90% 신뢰구간은 0.12797.6883이 나오므로 두 집단 분산의 차이인, 모분산 비는 0.1279에서 7.6883사이라고 할 수 있다. 그리고 표본의 수가 적기 때문에, 추정값의 편차가 크다.

 

 

 

 

2. 집단1과 집단2의 분산이 얼마나 차이 나는지를 비교하기 위해 실험을 한다고 한다. 그래서 각각 표본 6개와 7개를 뽑았더니, 분산은 각각 34가 나왔다고 한다. 이때 두 모분산 비 σ12/σ22에 대한 95% 신뢰구간을 구하시오.

95%의 신뢰구간이므로 α/2=0.025이고, n1-1=5 그리고 n2-1=6이다. 일단 0.025에 해당하는 F값을 표에서 찾으면, 왼쪽신뢰구간 F값은 5.99가 나온다. 그리고 오른쪽신뢰구간 F값은 6.98이 나온다.(자유도가 서로 바뀐다.) 그래서 95% 신뢰구간은 0.1255.235가 된다.

 

 

예전 포스팅인 “F분포표 보는 법에서, F분포는 보통 분산이 큰 집단이 분자로 간다고 했는데, 반드시 그런 것은 아니다. 일단 위의 문제는 모분산 비 σ12/σ22를 추정하는 것이기 때문에, 집단1의 분산이 더 작아도 분자로 간다. 하지만 F분포에서 분산이 큰 집단이 분자로 가는 이유는 그래야 계산하기가 편하기 때문이다.(가설검정과 분산분석에서) 그래서 가급적 분산이 큰 집단이 분자로 가는 것이 좋다.

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Posted by 나부랭이

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  1. 손님1

    문제1번 표에서 왼쪽신뢰구간과 오른쪽신뢰구간 찾는방법이 서로 바뀐것같습니다.

    2014.12.15 17:43 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 신뢰구간 공식을 유도할 때,

      한 번 "역수"를 취하는데,

      그때 자유도도 서로 바뀝니다.

      그래서 저렇게 풀어야 합니다.

      2014.12.15 18:16 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  2. 통계걸음마

    손님1님의 말이 맞는 것 같습니다. 문제 1번에서 모든 풀이과정을 적용해 봤을 때, F값 9.12가 오른쪽 신뢰구간이고, 6.59가 왼쪽신뢰구간아닌가요?

    2014.12.16 09:41 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  3. 손님1

    네, 그걸 적용한답이 바뀐것같습니다

    표본5개일때가 14이고, 표본4개일때가 12인데

    원래 오른쪽신뢰도구간이 분자가 큰것,분모가 작은것 오른쪽신뢰도 구간이 자유도로 4/3이고
    왼쪽신뢰구간이 "분자와 분모의 위치가 바뀐것"으로 "자유도를 역수"를 취한 3/4 아닌가요?

    보시면 예제1과 예제2를 비교해보시면 문제풀이 방법이 다릅니다.
    예제1에서 오른쪽신뢰도구간과 왼쪽신뢰도구간을 헷갈리신듯합니다.

    그리고 매번좋은 설명 감사드립니다 ^^

    2014.12.16 09:48 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  4. 어떤 걸 말씀하시는지, 이제 알 것 같네요.

    일단 님이 말씀하신 건 "신뢰구간 공식 유도 전" 상황입니다.



    신뢰구간 공식 유도 전: 왼쪽 자유도(분산이 작은 집단, 분산이 큰 집단), 오른쪽 자유도(분산이 큰 집단, 분산이 작은 집단)

    신뢰구간 공식 유도 후: 왼쪽 자유도(분산이 큰 집단, 분산이 작은 집단), 오른쪽 자유도(분산이 작은 집단, 분산이 큰 집단)



    님이 말씀하신 게 "유도 전"이고, 위의 문제풀이는 "유도 후"입니다.

    이렇게 공식을 유도하기 전, 후에 따라 자유도가 바뀌는데,

    왜냐하면 공식을 유도할 때 역수를 취하기 때문에 자유도가 바뀐 겁니다.

    -> 님이 말씀하신 역수는: 왼쪽 좌표를 구하는 역수

    -> 제가 말한 역수는: 신뢰구간 유도에서 하는 역수



    그래서 정확하게는 1번 문제가 잘못된 게 아니라, 2번 문제가 잘못된 문제입니다.(1번 문제가 일반적인 문제입니다.)

    하지만 2번 문제도 틀린 문제는 아닙니다.

    보통 분산이 큰 집단이 분자가 되기는 하지만, 이건 사용하는 사람의 마음일 뿐, 꼭 그래야 하는 건 아닙니다.

    그래서 2번 문제에서는 σ1/σ2를 물어봤기 때문에, 집단1의 분산이 더 작아도 분자로 가야 합니다.



    문제 1번과 2번이 다른 이유는 일부러 그렇게 한 겁니다.

    (이런 식으로도 나올 수 있기에, 일부러 이렇게 다룬 겁니다.)

    2014.12.16 15:54 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  5. 손님1

    아 신뢰도 구하는공식 유도하는부분에서 역수를 취한다는말이 무슨말인지알았습니다.
    저는 왼쪽좌표를 구한거였는데 ,여기서 신뢰구간을 구하는거라 다시 역수를 취해주는거였군요 . 감사합니다

    그런데 한가지 더 질문이있습니다.
    문제1과 문제2의 차이가 무엇인지 잘모르겠습니다.

    문제의 앞부분 부연설명만 다른것 같은데, 문제 풀이방법이 왜 다른지 모르겠습니다.

    문제1)어느 특정실험에 대한 실험방법이 2가지가 있는데, 실험1과 실험2의 분산이 얼마나 차이 나는지를 비교한다고 한다

    문제2)집단1과 집단2의 분산이 얼마나 차이 나는지를 비교하기 위해 실험을 한다고 한다.

    두 문제다 이때 두 모분산 비 σ12/σ22에 대한 95% or 90%로 신뢰구간을 구하시오 로, 신뢰구간 범위만 다른것같은데 말이죠...


    2014.12.16 18:22 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 그냥 별거는 없습니다~

      1번 문제는 (분산이 큰 집단/분산이 작은 집단)

      2번 문제는 (분산이 작은 집단/분산이 큰 집단)

      이 정도 차이입니다.



      그런데 1번 문제처럼 F분포는 무조건 분산이 큰 집단이 분자로 가야 된다고만,

      생각하는 사람도 있을 수 있어서요.

      그래서 꼭 그런 건 아니라는 걸 나타내려고 2번 문제를 다룬 겁니다.

      2014.12.16 19:08 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  6. 손님1

    1번과 2번 둘다 같은 σ1/σ2를 물어보았고 ,

    문제는 같은데 풀이방법이 두개로 나뉜건
    1번 문제는 (분산이 큰 집단/분산이 작은 집단)
    2번 문제는 (분산이 작은 집단/분산이 큰 집단)
    F분포에서 무조건 큰 집단이 분자로 가야한다고만 생각하는 사람이 있어서 이렇게 풀었다 답글주셨는데
    =>보통 분산이 큰 집단이 분자가 되기는 하지만, 이건 사용하는 사람의 마음일 뿐, 꼭 그래야 하는 건 아닙니다.

    그럼 제가 문제를 보고 임의로 분산이 큰집단이 분자로가도되고 아니면, 반대로 큰집단이 분모로 가게끔 풀어도되는건가요 ? 사용하는 사람의 마음이라 하셨는데 그럼 문제에 답이 2개가 나오는 경우가 발생할것 같은데요 ..

    분산이 큰집단이 분모로 가도 되고 ? 분자로가도되고? 사용하는사람의 마음일뿐이라는 말이 애매한것같습니다. 기준은 없는건가요 ? 그럼 답이 2개인건가요 ?

    (아직 배우는 단계라 모르고 헷갈리는게많네요... 매번 답변주셔서 감사합니다)

    2014.12.17 09:46 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 그냥 문제에서 물어보는 데로 푸세요.

      (σ1/σ2에 대한 95% 신뢰구간을 구하시오.) <- 문제에 보면 마지막에 이런 식으로 나옵니다.

      2014.12.17 10:43 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  7. 손님1

    그냥 문제대로 풀려고하는데

    문제1)_ 이때 두 모분산 비 σ12/σ22에 대한 90% 신뢰구간을 구하시오.
    문제2)_이때 두 모분산 비 σ12/σ22에 대한 95% 신뢰구간을 구하시오.

    두문제 차이점이없는데 문제를왜 다르게푸는지 모르겠다는겁니다.~

    사용하는사람의 마음일뿐이라는데 . 그럽 문제당 답이 2개이겠네요 ?

    2014.12.17 11:13 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 1번 문제의 분산비: 14/12로, 큰 분산이 분자에 있습니다.

      2번 문제의 분산비: 3/4로, 작은 분산이 분자에 있습니다.

      이 정도 차이가 있을 뿐, 문제를 다르게 풀지는 않습니다.

      2014.12.17 11:33 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]