통계2014.11.13 13:22

모분산의 신뢰구간 문제풀이를 해보자. 모분산 추정은 표본을 뽑아서 얻어낸 표본분산(s2)으로 모분산(σ2)을 추리하는 것이다. 그리고 구간추정인 신뢰구간을 설정하기 위해서는, 카이제곱분포표에서 α/21-α/2에 해당하는 χ2값을 찾은 후, 자유도 그리고 표본분산과 함께 공식에 대입하면 된다. 그럼 몇 가지 문제를 통해 모분산의 신뢰구간을 구해보자.

1. 어느 회사에서 제품의 모분산(σ2)을 추리하기 위해 조사를 한다고 한다. 조사를 위해 표본 10개를 뽑았더니 표본분산(s2)6.42가 나왔다고 한다. 이때 모분산에 대한 90% 신뢰구간, 95% 신뢰구간을 추정하시오.

90%의 신뢰구간이므로 α/2=0.05이고, 1-α/2=0.95이다. 그리고 자유도는 10-1=9, 카이제곱분포표()에서 해당 값을 찾으면, χ2값은 각각 16.923.33이 된다. 그래서 모분산의 신뢰구간은 3.4149에서 17.3514사이라고 할 수 있다.

 

 

95%의 신뢰구간이므로 α/2=0.025이고, 1-α/2=0.975이다. 그리고 자유도는 10-1=9, χ2값은 각각 19.022.7이 된다. 그래서 모분산의 신뢰구간은 3.0379에서 21.4사이라고 할 수 있다.

 

 

 

2. 어느 치우침에 매우 민감한 실험이 있다고 한다. 치우침에 민감하므로, 치우침을 파악하기 위해 모분산(σ2)을 추정한다고 한다. 그래서 추정을 위해 표본 15개를 뽑았더니 표본분산(s2)7.5가 나왔다고 한다. 이때 모분산에 대한 99% 신뢰구간을 추정하시오.

99%의 신뢰구간이므로 α/2=0.005이고, 1-α/2=0.995이다. 그리고 자유도는 15-1=14, 카이제곱분포표에서 해당 값을 찾으면, χ2값은 각각 31.324.07이 된다. 그래서 모분산의 신뢰구간은 3.3525에서 25.7985사이라고 할 수 있다.

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Posted by 나부랭이

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  1. 통계초보

    자유도 구하는 공식이 표본수 -1인걸로 아는데
    표본수가 3천개정도 있으면 자유도 2999가 맞나요?
    그럼 저표는 활용 못하는건가요?

    2016.03.07 09:30 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  2. 통계바보

    내용 정말 잘 읽고 있습니다.
    문제 2 번에서 치우침에 민감하다고 하였는데
    치우침에 민감한 것이랑, 신뢰구간에 무슨 상관이 있나요?
    신뢰구간 99%라고 하면 신뢰도는 높아지지만 그만큼 구간이 길어지니 당연히 신뢰도가 높아지는거 아닌가요?

    이렇게 되면, 신뢰구간의 적정성을 찾는데 헷갈리네요 ,, 점점 ㅠㅠ
    정답은 없겠지만, 조언 부탁드립니다.

    2016.05.16 20:03 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 만약 치우침이 없다면, 답이 1개만 나오는 경우가 많으니, 방정식으로 풀면 되겠죠.

      하지만 치우침이 있으면, 답이 어떻게 나올지 모르므로, "구간"을 설정하는 겁니다.

      그다음 "이 구간 안에 답이 있을 것이다."라고, 상황을 파악합니다.

      하지만 "구간" 안에 답이 없는 경우도 있으므로, 90% 95% 99%라는 확률이 붙게 됩니다.



      참고로 99% 신뢰구간은, 구간이 길어서 신뢰도가 높을 수는 있지만,

      구간이 너무 길기에 답이 애매할 수가 있습니다.

      예를 들어 (구간이 짧아서) 구간의 길이가, 1<X<4라고 한다면, 답은 2 혹은 3 둘 중에 하나라는 것을 알 수 있습니다.

      하지만 (구간이 길어서) 구간의 길이가, 1<X<13이라고 한다면, 답은 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 중 하나가 됩니다.

      즉 최종적으로 답이 어떤 것인지 파악하기가 애매합니다.



      그래서 각각의 신뢰구간이 "장점"과 "단점"이 있습니다.

      90% 신뢰구간: 구간이 짧아서 틀릴 확률은 높지만, 최종적으로 답을 파악하기가 쉽다.

      95% 신뢰구간: 그냥저냥

      99% 신뢰구간: 구간이 길어서 틀릴 확률은 낮지만, 최종적으로 답을 파악하기가 애매하다.



      이렇게 각각의 장단점이 있는데, 사실 5%씩밖에 차이가 나지 않아서,

      각 신뢰구간의 차이가 그렇게 크지는 않습니다.

      그래서 그냥 "이런 것도 있구나."하고 넘어가면 그뿐입니다.

      2016.06.01 12:21 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]