통계2014.12.04 18:21

모평균의 가설검정 문제풀이(σ를 아는 경우)를 해보자. 모평균의 가설검정은 μ가 이럴 것이다.라고 대립한 두 개의 가설 중, 어느 가설이 더 타당한지를 판단하고, 하나의 가설이 더 옳다고 선택하는 것이다. 그런데 가설검정은 판단만 하면 안 되고, 결론까지 써줘야 한다. 자세한 상황은 몇 가지 문제를 풀어보면서 알아보자.

 

 

 

1. 어느 한 건전지의 평균 수명은 300일이라고 한다. 하지만 일부에서는 300일이 아니라는 의견도 나오고 있다. 그래서 해당 건전지 25개를 표본으로 뽑아 조사하였더니, 평균수명은 310일이 나왔다고 한다. 이때 어느 의견이 더 타당한지 유의수준 5%에서 검정하시오. 단 건전지의 모표준편차는 30으로 알려져 있다.

대립가설로 평균수명이 300일이 아니라는 의견이 나왔는데, 작은지 큰지는 거론되지 않았다. 그래서 대립가설은 같지 않다로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 1.67이 나온다.

                                                            

그럼 기각역을 구해보자. 일단 유의수준 α=0.05인데, 양측검정이므로 α/2=0.025에 해당하는 값을 표준정규분포표에서 찾아야 한다. 그런데 이 0.025는 정규분포의 오른쪽 면적에 해당한다. 하지만 정규분포표는 왼쪽면적을 다루므로, 1-0.025=0.975에 해당하는 값을 ()에서 찾아야 한다. 확률 0.975에 가장 가까운 Z값은 1.96인데, 양쪽으로 설정해야 하므로 기각역은 ±1.96이라는 것을 알 수 있다.

         

결론을 내보면, 검정통계량이 채택역 안에 위치하므로 귀무가설이 채택된다. 그러므로 건전지의 평균수명은 300일이라고 할 수 있다.(렇게 결론까지 써줘야 한다.)

 

 

 

2. 과자를 생산하는 A회사는, 자신들이 생산하는 과자의 평균 중량이 50g이라고 주장하고 있다. 하지만 소비자들은 절대 그럴 일이 없다며, 평균 중량은 50g보다 작다고 주장한다. 그래서 어느 주장이 더 맞는지 조사하기 위해, 과자 100개를 표본으로 뽑았더니 평균 중량은 41g이 나왔다고 한다. 과자의 평균 중량에 대해 어느 주장이 더 타당한지 유의수준 1%에서 검정하시오. 단 모집단의 표준편차는 20이라고 한다.

대립가설로 평균 중량이 50g보다 작다는 의견이 나오므로, 대립가설은 작다로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 4.5가 나오는데, 딱 봐도 왼쪽으로 치우친 값이라서, 굳이 기각역과 비교해보지 않아도 귀무가설이 기각(탈락)이라는 것을 알 수 있다.

                                                              

그래도 기각역을 구해보자. 유의수준 α=0.01이므로 1-0.01=0.99에 해당하는 Z값을 표에서 찾아야 하는데, 0.99에 가장 가까운 Z값은 2.33이 나온다. 그런데 왼쪽 좌표이므로 정규분포가 좌우대칭이라는 특징을 활용해서 값을 붙이면 된다. 그래서 기각역은 2.33이다.

                         

결론을 내면, 검정통계량이 기각역 안에 있으므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그러므로 과자의 평균 중량은 50g보다 작다고 할 수 있다.

 

 

 

3. 우리나라 남성들의 평균수명은 75세라고 한다. 하지만 의학기술이 발달함에 따라 평균수명이 더 높아졌을 것이라는 의견이 나오고 있다. 그래서 최근에 사망한 남성 30명의 평균수명을 조사하였더니 79세가 나왔다고 한다. 이때 어느 가설이 더 타당한지 유의수준 10%에서 검정하시오. 단 지금까지의 데이터를 분석해보니 표준편차는 10이라고 한다.

대립가설로 평균수명이 75세보다 크다는 의견이 나오므로, 대립가설은 크다로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 2.19가 나온다.

                                                              

그리고 기각역을 구해보면, 유의수준 α=0.1이므로 1-0.1=0.9에 해당하는 Z값을 표에서 찾아야 한다. 그래서 표에서 0.9에 가장 가까운 Z값은 찾으면 1.28이 나온다. 그러므로 기각역은 1.28이다.

         

결론을 내면, 검정통계량이 기각역 안에 있으므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그러므로 남성의 평균수명은 75세보다 크다고 할 수 있다.

 

 

 

그리고 신뢰구간 때랑 마찬가지로, 가설검정에서 자주 사용되는 Z값은 몇 가지로 정해져 있다. 단지 신뢰구간은 α/2만 다루었기에 Z값이 3가지로 정해져 있었는데, 가설검정은 α/2α, 두 가지 모두 다루므로 Z값이 5개로 정해져 있다.(0.05가 중복이라서 5개다.) 그래서 Z값을 미리 알아두면 매번 표를 찾는 번거로움을 없앨 수 있는데, 5개의 Z값은 다음과 같다.(신뢰구간과 3개는 겹친다.)

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Posted by 나부랭이

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  1. 궁금합니다

    아래의 문제에서
    그리고 기각역을 구해보면, 유의수준 α=0.1이므로 1-0.1=0.9에 해당하는 Z값을 표에서 찾아야 한다. 그래서 표에서 0.9에 가장 가까운 Z값은 찾으면 1.28이 나온다. 그러므로 기각역은 1.28이다.
    여기서 양측검정이므로 유의수준 a(알파)/2=0.05 1-0.05=0.995 아닌가요?..(2.58)

    2014.12.06 19:52 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 문제 3번 말씀하시는 것 같은데, 3번은 "단측검정"이라서,

      α/2가 아니라 그냥 α로 구해야 합니다.



      위에 1번 문제 같은 경우에는 대립가설이 "같지 않다"인데,

      "같지 않다"의 경우에는 큰지 작은지 모르기에,

      기각역을 양쪽으로 설정합니다.

      그래서 α가 둘로 나눠서 α/2가 됩니다.



      3번 문제 같은 경우에는 대립가설이 "크다"인데,

      "크다"의 경우에는 그래프의 오른쪽만 해당함으로,

      기각역을 한쪽만 설정하면 됩니다.

      그래서 그냥 α를 사용합니다.

      2014.12.09 14:40 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  2. 질문입니다

    문제 1번에서 25개의 표본을 뽑았다고 나왔는데
    25개면 30보다 작으니까 T분포를 사용해서 풀어야 하는거 아닌가요?

    2014.12.07 18:24 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • "σ를 아는 경우"에는 무조건 정규분포를 사용합니다.

      "σ를 모르는 경우"에 30개보다 작으면, t분포를 사용합니다.



      다음 포스팅에 "표"로 정리해 놓은 게 있으니 참고하시면,

      이해하시기 편할 것 같네요~

      2014.12.07 18:43 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  3. 질문드려요

    제가 문제를 풀다가 어려움이 있어서 질문드려요 ㅠㅠ

    문제에 임계치랑 검정통계량이 제시되어 있는 문제인데요.

    회사에서 생산하는 제품의 무게가 법정용량인 400g보다 작은 것으로 소비자 보호원에 신고되었다.
    이에 따라 회사은 생산하는 제품의 무게를 조사하기 위하여 표본 30개의 제품을 추출하였다. 모집단의
    표준오차는 2이다. 표본 제품의 무게는 398g 으로 밝혀졌다. 유의수준 5%로 가정하고 가설검정을 하시오.
    (단, 임계치는 -1.64이고 검정통계량은 -1)

    이걸 못 풀겠어서요 ㅠㅠ

    귀무가설의 채택영역이랑 기각영역을 구하면 399.6이 나와서 정규분포에서는 표본평균이 귀무가설 기각영역에 들어가는데

    표준정규분포에서 저 임계치랑 검정통계량을 기준으로 하면 귀무가설 기각영역에 들어가지않고 채택영역에 들어가더라고요ㅠ

    정규분포랑 표준정규분포랑 기각영역이 달라질 수 있나요?

    2015.12.04 14:23 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 이 문제는 값이 다 나와 있기 때문에,

      간단하게 풀 수 있는 문제입니다.



      먼저 기각역은 -1.64 그리고 검정통계량은 -1

      그럼 검정통계량이 채택역 안에 위치하므로, 귀무가설 채택

      그러므로 "제품의 무게는 400g보다 작다고 할 수 없다."

      그냥 이걸로 끝입니다.

      2015.12.07 15:03 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  4. 222

    질문 하나 드립니다. 만약 표본 Sample의 수가 예를들어2억? 많다면, Z값이 -2000으로 나오는데,
    이런경우 어떤 해석일까요?

    2016.12.12 10:51 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 표본 수가 2억 개 정도면, 그냥 "모수"로 취급해도 될 겁니다.

      그래서 위와 같은 과정을 거치지 않고, 바로 2억 개의 평균을 냅니다.

      그다음 "2억 개의 평균"을 가지고, 크고 작은지를 판단하면 될 겁니다.

      2016.12.12 13:29 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  5. 궁금합니다.

    안녕하세요. 블로그 잘 보고 있습니다. 갑작스레 죄송하지만, 질문 하나 여쭈어봐도 될련지요.

    표본사이즈 80, 표본평균150, 모분산 320일때(모집단은 정규분포를 따름)
    모평균의 값이 140인지 아닌지를 10%기준으로(유의수준10%겠지요?)검정하시오.

    위의 문제의 가설을 정할때, 귀무가설H0:모평균=140이 아님, 대립가설H1:모평균=140 으로 세울 경우, 모평균이 140이 아님이 가각되었다고 해서 모평균이 140이라는 논리는 좀 이상한데(139일수도 있고), 이렇게 가설을 세우는것 자체가 잘못되었는지요?

    2016.12.17 20:06 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  6. 궁금합니다.

    검정통계량은 5입니다.

    2016.12.17 20:07 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 순서가 틀렸습니다.

      귀무가설: 모평균=140

      대립가설: 모평균≠140

      라고 세워야 합니다.

      2016.12.20 15:10 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  7. 질문드려요

    안녕하세요. 블로그 접한지 별로 되지않았지만 항상 큰 도움을 얻고 갑니다.

    평균은 180점이고 표준편차는 10점입니다.
    이때 귀무.대립가설을 세우는 것에대한 질문을 드리고싶어서요. 귀무가설을 평균점수가 증가해오고있다라고 표현해야합니다.
    그때 귀무: 모평균=180, 대립 : 모평균<180이라고 해야하나요 아니면 귀무:모평균>=180 대립:모평균<180이라고 해야하나요??

    2017.05.12 22:31 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 그냥 쓰는 사람 마음입니다.

      아랫글에 이러한 내용이 살짝 있으니, 참고하세요.

      http://math7.tistory.com/82

      2017.05.30 12:35 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  8. 묙이

    정말 감사드려요.. 시험때문에 우연히 검색하다 왔는데 많은 도움이 되고있습니다ㅠㅠ 정말 감사드립니다

    2017.06.15 18:05 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  9. 설명 정말 ... 굳

    2017.06.15 22:52 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  10. 지나가다가 질문드러요

    두 번째 사례에서요, 양측 검증이 아닌 이유는 이미 대립가설이 평균 중량보다 "작다"라고 방향성이 제시되었기 때문인가요?

    2017.07.21 03:58 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]