통계2014.12.07 18:56

모평균의 가설검정 문제풀이(σ를 모르는 경우)를 해보자. 모표준편차인 σ를 모르는 경우에는, 표본에서 얻어낸 표본표준편차 s를 사용한다. 그리고 기본적으로 t분포를 사용해서 가설검정을 하는데, 대신 n30이면 정규분포를 사용할 수가 있다. 그럼 몇 가지 문제를 풀어보자.

 

 

 

1. 애완용으로 키우는 금붕어의 평균수명은 5년이라고 한다. 하지만 일부에서는 평균 수명이 5년이 아니라는 주장이 나오고 있다. 그래서 금붕어 10마리를 표본으로 뽑아 조사하였더니, 평균수명은 9년이 나오고 표준편차는 3이 나왔다고 한다. 이때 어느 주장이 더 타당한지 유의수준 10%에서 검정하시오.

대립가설로 평균수명이 5년이 아니라는 의견이 나왔는데, 작은지 큰지는 거론되지 않았다. 그래서 대립가설은 같지 않다로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 4.22가 나오는데, 오른쪽으로 치우친 값이라서 기각역과 비교해보지 않아도 귀무가설이 기각(탈락)이라는 것을 알 수 있다.

                                                              

그래도 기각역을 구해보자. 일단 유의수준 α=0.1인데, 양측검정이므로 α/2=0.05에 해당하는 값을 t분포표()에서 찾아야 한다.(자유도는 10-1=9이다.) 표에서 해당 값을 찾으면 1.833이 나오는데, 양쪽으로 설정해야 하므로 기각역은 ±1.833이라는 것을 알 수 있다.

         

결론을 내보면, 검정통계량이 기각역 안에 위치하므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그러므로 금붕어의 평균수명은 5년이 아니다.

 

 

 

2. 어느 한 시멘트 회사에서 생산하는 시멘트 한 포의 평균무게는 40kg이라고 한다. 하지만 일부 건설현상에서는 시멘트 한 포의 무게가 40kg보다 작다는 불평이 쏟아지고 있다. 그래서 어느 주장이 더 타당한지를 파악하기 위해 해당 시멘트 8개를 표본으로 뽑아 조사하였더니, 평균무게는 39kg이 나왔고 표준편차는 5가 나왔다고 하다. 이때 어느 주장이 더 타당한지 유의수준 1%에서 검정하시오.

대립가설로 평균무게가 40kg보다 작다는 의견이 나오므로, 대립가설은 작다로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 0.57이 나오는 것을 알 수 있다.

                                                              

그리고 기각역을 구해보면, 일단 유의수준 α=0.01이고 자유도는 8-1=7이다. 해당 값을 t분포표에서 찾으면 2.998이 나오는데, 왼쪽 좌표이므로 t분포가 좌우대칭이라는 특징을 활용해서 값을 붙이면 된다. 그래서 기각역은 2.998이다.

         

결론을 내면, 검정통계량이 채택역 안에 있으므로 귀무가설이 채택된다. 그러므로 시멘트 한 포의 평균무게는 40kg이라고 할 수 있다.

 

 

 

3. 어느 한 회사에서 생산하는 참치통조림의 평균 중량은 200g이라고 알려져 있다. 하지만 일부에서는 평균 중량이 200g보다 크다는 의견도 나오고 있다. 그래서 어느 의견이 더 맞는지 조사하기 위해 통조림 50개를 표본으로 뽑았더니, 평균 중량은 210g이 나오고 표준편차는 80이 나왔다고 한다. 이때 참치통조림의 평균 중량에 대해 어느 주장이 더 타당한지 유의수준 5%에서 검정하시오.

대립가설로 평균 중량이 200g보다 크다는 의견이 나오므로, 대립가설은 크다로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 0.88이 나온다.

                                                              

이제 기각역을 구해야 하는데 한 가지 문제는, 자유도 49(표본=50) t분포표에 없다. 그래서 정규분포를 사용해야 한다.(어차피 표본의 수가 30개 이상이므로 정규분포를 사용해도 된다.) 정규분포를 사용하면, 유의수준 α=0.05이므로 해당 Z값은 1.64가 된다. 그래서 기각역은 1.64이다. Z값 구하는 법은 여기를 (참고)하면 된다.

결론을 내면, 검정통계량이 채택역 안에 있으므로 귀무가설이 채택된다. 그러므로 참치통조림의 평균 중량은 200g이라고 할 수 있다.

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Posted by 나부랭이

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  1. 페라

    감사합니다

    2014.12.07 21:01 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  2. 플루토늄

    통계쪽에 정말 쉽게 정리를 잘 해놓으셨군요. 공부하는데 많은 도움이 되었습니다.
    질문 하나만 드려도 될까요? 위의 경우에 30개 이하의 표본 이라면 t분포표를 사용하는 것은 알겠는데,
    위 식에서 s는 sig(x_i -x_bar)^2 을 n-1으로 나눈 값을 사용하면 될까요?

    2014.12.11 13:44 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 네ㅋ 그렇게 하시면 됩니다.

      그리고 정확하게는

      s = 루트 sig(x_i -x_bar)^2/n-1로,

      표준편차는 "루트"가 들어가니, 이 점을 조심하세요

      2014.12.11 14:18 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  3. 플루토늄

    답변감사합니다 ㅎㅎ 지금 공학 전공 학부생과 경영전공 학부생의 영어 성적 비교를 위해 공학도 31명의 토익점수와 경영학도 12명의 토익점수를 설문했습니다.
    ybm의 정보에따르면 모평균의 경우(2012년 토익) 경영학이 661점 공학이 609점이더군요. 아마 다음번에 포스트 하시는 글에 나오는 내용이 될 것 같은데, 한가지 먼저 질문 드려도 될지요.
    대립가설은 두 전공의 점수차가 52점보다 작다(mu_경영 - mu_공학 < 52) 로 놓으려고 합니다.
    제가 찾으려는 것은 모분산을 모르기 떄문에 표본분산(s)를 사용해하 할텐데, 검정통계량을 구할 때 어떻게 해야할까요?

    2014.12.11 16:48 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 일단 합동표준편차 sp로 구해야 합니다.

      그런데 댓글에는 공식 쓰기가 불편해서요 ~_~;;

      급하지 않으시다면,

      몇 시간 안에 다음 포스팅이 올라갈 것 같으니,(문제풀이는 아니지만, 검정통계량 공식이 있습니다.)

      몇 시간만 기다려 주세요~

      2014.12.11 17:17 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
    • 지금 보니 이 문제는 t분포로는 못 풀 것 같아요.

      표본이 31명과 12명이라서,

      자유도를 구해보면 31+12-2=41이 나오는데,

      자유도 41은 t분포표에는 없습니다.(통계 프로그램은 가능할 수도 있습니다.)



      그래서 정규분포로 풀어야 하는데,

      정규분포는 그냥 각각의 표본분산을 구하시면 됩니다.

      s제곱 1 = 공대생의 표본분산

      s제곱 2 = 경영대생의 표본분산

      그리고선 σ 대신 s를 대입하면 됩니다.

      "두 모평균의 가설검정 문제풀이(σ를 아는 경우)" 이 경우처럼 풀면 됩니다.

      2014.12.11 18:17 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  4. 요코하마

    안녕하세요~
    글쓴이님 글을 보면서 정말 매번 통계학 공부에 도움이 되고 있습니다~!
    유학중에 경영학 전공수업중 통계학을 처음으로 접했는데 그닥 내용이 와닿지가 않더군요
    그러던 와중에 우연히 글쓴이님 글을 읽어보니 이제서야 통계학이 친숙한 이미지로 이해가 잘 되더라구요.
    앞으로도 매일매일 방문해서 통계학 공부 열심히 해볼려구요 ~~ 잘 부탁드려요^^

    2014.12.13 00:03 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 아~ 안녕하세요.

      일본에서 유학하는 중이신가 보네요.

      저도 잘 부탁드립니다 ~_~ㅋ

      2014.12.13 13:45 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  5. 바보

    문제풀이 하나 가능한가요...

    총 400명의 투표자 중 a후보자 지지가 210명이라고 하는데 이때 지지율은 50%를 넘는다고 할 수 있는가?

    0.05수준에서 검정하시오...

    어떤 공식을 대입하는지...좀 부탁드립니다 통계문외한이라 이렇게 들렸습니다..

    2014.12.18 20:13 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  6. 궁금하네요

    t분포는 표준편차를 모를때 사용하는 것으로 인지하고있는데 1,2번에서 정규분포가 아닌 t분포로 사용한 이유가

    먼가요?

    2015.01.21 13:14 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • t분포는 표준편차를 모를 때 사용하는 분포가 아니라,

      "모표준편차"를 모를 때 사용하는 분포입니다.(σ = 모표준편차)

      그래서 제목을 보시면, (σ를 모르는 경우)라고 되어 있습니다.

      그리고 위 1, 2번 문제에서 나오는 표준편차는, 표본표준편차(s) 입니다.

      2015.01.21 13:38 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  7. 안녕하세요~ 문제에 모집단의 표준편차는 알 수가 없고 표본집단도 30이 안되어서 t분포를 사용하려했는데.. 문제에 정규분포를 이루고 있다는 가정이 붙어있네요. 이럴 경우에는 Z검정을 사용하는건가요??

    2015.01.30 11:25 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • "정규분포를 이루고 있다는 가정"은

      그냥 "분포의 모양이 정규분포 모양"이라는 소리입니다.

      단지 모양을 나타낼 뿐, 정규분포로 풀라는 뜻은 아닐 겁니다.(저는 잘 안 쓰는 문장이라서 잘은 모르겠네요)



      그리고 t분포도 모양만 놓고 보면, 그냥 정규분포 모양입니다.

      그래서 문제가 나와 있는 책을 직접 봐야 알 것 같기는 하지만,

      일단 t분포가 맞을 겁니다.

      2015.01.30 13:00 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  8. 2003년 거시경제학 수강생들의 중간시험 1 평균점수가 25점이었다. 2007년 거시경제학 수강생 77명의 중간시험 1 평균점수는 20점으로 하락하였다. 그렇다면 2003년과 2007년 거시경제학 수강생들의 학업성취도가 상이하다고 할 수 있는지 유의수준 5%하에서 검정하라.

    여기서 표본표준편차를 알지못해서 제가 못푼다고 생각하고 있는데 문제가 잘못된 건가요? 제 생각이 잘못된 건가요?

    2015.04.10 15:43 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 뭔가 치사한 "함정"이 있을 수도 있지만,

      일단은 표준편차가 없어서 못 구할 거 같네요 ~_~ㅋ

      2015.04.11 13:30 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  9. 임선묵

    여줘볼께 있는데요 참치 통조림의 평균중량은 200g이라고 할 수 있다라고 마지막에 써놓았는데
    이거는 참치 통조림의 평균중량이 200g 일수도 있고 200g 보다 클 수 도 있는데 200g 보다 작다고 볼수는 없는 것 맞죠?
    답변 부우우탁드립니다.

    2015.06.04 20:00 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  10. yeonnnn

    왼쪽좌표인지 오른쪽좌표인지는 음과 양으로 구분되는건가요?

    2016.12.03 21:17 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 왼쪽좌표인지 오른쪽좌표인지는, "문장"을 보고 판단해야 합니다.

      예를 들어 2번 문제의 "작다는 불평이 쏟아지고 있다."

      혹은 3번 문제의 "크다는 의견도 나오고 있다."

      이렇게 문장을 보고, 왼쪽좌표인지 오른쪽좌표인지를 판단해야 합니다.



      물론 왼쪽좌표의 경우에는 검정통계량이 음수가 나오고,

      오른쪽좌표의 경우에는 검정통계량이 양수가 나오는 경우가 대부분입니다.



      하지만 가끔 치사한 문제를 내는 변태 같은 교수들이 있어서,

      반대로 나오는 경우도 있습니다.

      그러니 "문장"을 보고 판단하는 습관을 들이는 것이 더 좋습니다.

      2016.12.06 18:59 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  11. 네네치킨

    잘 보고 갑니다 ! 감사해요~

    2017.06.07 01:45 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  12. 통계초보

    좋은 글 잘 보고 갑니다! 요즘 기초통계 공부하고 있는데 헷갈리는 부분을 너무 잘 설명해 주셔서 감사합니다ㅎㅎ
    그런데 아직 헷갈리는게 있는데 t분포를 이용하여 검정통계량을 구하면 p-값은 어떻게 구하나요?

    2017.06.11 23:49 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]