통계2014.12.15 18:10

모분산의 가설검정 문제풀이를 해보자. 모분산을 검정하는 문제풀이는, 모평균을 검정하는 문제풀이보다 조금은 단순하다. 단지 문제에 표본의 데이터가 주어져서, 손수 표본분산을 구해야 할 때는 상황이 귀찮아지는데, 표본분산 구하는 법은 생략하기로 한다. 그냥 표본분산 구하는 법은 여기를 (참고)하면 된다. 그럼 몇 가지 문제를 풀어보자.

 

 

 

1. A 회사는 LED 현관등을 생산하는데, 이 제품의 분산은 25라고 알려져 있다. 그런데 최근 품질관리팀의 분석에 의하면, 제품의 불량률이 높아져서 분산이 25보다 커진 것 같다는 의견이 나왔다. 이에 실상을 파악하기 위해 표본 10개를 뽑아 조사하였더니, 표본분산은 29가 나왔다고 한다. 이때 분산이 25보다 크다고 할 수 있는지 유의수준 5%에서 검정하시오.

대립가설로 분산이 25보다 크다는 의견이 나오므로, 대립가설은 크다로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 10.44가 나온다.

                                                  

그리고 기각역을 구해보면, 일단 유의수준은 α=0.05이고 자유도는 10-1=9이다. 그래서 해당 χ2값을 카이제곱분포표()에서 찾으면 16.92이 나온다. 그래서 기각역은 16.92이다.

 

결론을 내면, 검정통계량이 채택역 안에 있으므로 귀무가설이 채택된다. 그러므로 제품의 분산은 25보다 크다고 할 수 없다.

 

 

 

2. 어느 한 회사에서 생산하는 제품의 분산은 7이라고 한다. 그런데 이 제품은 치우침에 굉장히 민감하기에, 회사는 치우침을 줄이려고 다방면의 노력을 하였다. 이러한 노력 끝에 치우침이 많이 줄어, 분산은 7보다 작을 것이라는 확신이 들었다. 실제로 그러한지를 알아보기 위해 표본 20개를 뽑았더니 표본분산은 2가 나왔다고 한다. 이때 분산이 7보다 작다고 할 수 있는지 유의수준 1%에서 검정하시오.

대립가설로 분산이 7보다 작다는 의견이 나오므로, 대립가설은 작다로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 5.43이 나온다.

                                                 

그럼 기각역을 구해보자. 일단 유의수준은 α=0.01인데, 왼쪽 좌표를 구해야 하므로 1-α에 해당하는 확률을 사용해야 한다. 그래서 확률 1-0.01=0.99와 자유도 20-1=19에 해당하는 값을 카이제곱분포표에서 찾으면 7.63이 나온다. 그래서 기각역은 7.63이다.

                

결론을 내면, 검정통계량이 기각역 안에 있으므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그러므로 제품의 분산은 7보다 작다고 할 수 있다.

 

 

 

3. 어느 한 실험의 분산은 10이라고 한다. 그런데 최근 들어서 실험의 결과가 이상하게 나오는 것이, 아무래도 실험의 치우침이 많이 달라졌고, 그래서 분산은 10이 아니라는 의견이 나왔다. 실제로 어떠한지를 알아보기 위해 표본 9개를 뽑았더니 표본분산은 3이 나왔다고 한다. 이때 분산은 10이라고 할 수 있는지 유의수준 10%에서 검정하시오.

대립가설로 분산은 10이 아니라는 의견이 나왔는데, 작은지 큰지는 거론되지 않았다. 그래서 대립가설은 같지 않다로 설정한다. 그리고 검정통계량을 구해보면 2.4가 나온다.

                                                 

그럼 기각역을 구해보자. 일단 이 문제는 양측검정이므로, 유의수준 α를 둘로 나누어야 한다. 그래서 1-α/2α/2로 기각역을 구하는데, 확률 1-0.1/2=0.950.1/2=0.05를 사용하면 된다. 그리고 자유도는 9-1=8, 해당 값을 표에서 찾으면 각각 2.7315.51이 나온다. 그래서 기각역은 2.7315.51이라는 것을 알 수 있다.

결론을 내보면, 검정통계량이 기각역 안에 위치하므로 귀무가설이 기각(탈락)된다. 그러므로 실험의 분산은 10이 아니라고 할 수 있다.

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Posted by 나부랭이

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  1. 궁ㄱㅁ해요

    왜 모분산검정에서는 H0가 채택되었는데 H1이 아니다 라고 표현해요?? 그니까 1번문제에 분산은 25이다 라고하는게 H0아니엇나요??그럼 채택이면 결론이 분산은 25이다 라고하는줄 알았는데 25보다 커졌다고 할수 없다. 라고하셔서.....뭐가맞는지 모르겠네요 ㅠㅠ

    2015.06.14 15:07 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 귀무가설을 중심으로 말을 풀든,

      대립가설을 중심으로 말을 풀든,

      그건 별로 상관없습니다.

      그냥 말을 푸는 사람 마음입니다.

      어차피 "귀무가설 채택 = 대립가설 탈락" 입니다.

      2015.06.17 16:34 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  2. ASK

    문제에서 오른쪽 좌표인지 왼쪽좌표인지의 근거가 '크다' '작다'로 해석하는게 맞는건가요?
    알파인지 1-알파인지 헷갈려서요.
    2번문제 판정시 분산이 7이죠?

    2015.07.30 10:01 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 그냥..

      대립가설이 "크다"이면 오른쪽이고,

      대립가설이 "작다"이면 왼쪽입니다.



      그리고 2번 문제의 답은 "오타"였네요.

      오타는 수정했습니다.

      2015.07.31 15:15 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  3. 비밀댓글입니다

    2016.06.11 21:30 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  4. ㅠㅇㅠ

    감사합니다.... 머릿속 안개가 걷힌 기분이에요...

    2017.06.14 03:41 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]