중3수학2018.09.21 18:41

원에 내접하는 사각형의 성질에 대해서 알아보자. 이전 글에서 사각형은 항상 외접원을 그릴 수는 없다고 했었는데, 네 점이 한 원 위에 있을 조건을 만족하면, 외접원을 그릴 수 있다. 그런데 외접원을 그릴 수 있는, 원에 내접하는 사각형은 몇 가지 성질이 있는데, 일단 원에 내접하는 하나의 ABCD가 있다고 해보자.

 


그럼 먼저 점 BD에서 원의 중심까지 직선을 그려보면, 2개의 중심각이 생기는데, 각각 x와 y라고 해보자. 그러면 원주각과 중심각의 의 길이가 서로 같다면, 원주각의 크기는 중심각보다 1/2배 작다고 했으므로,(참고) A=1/2x이고, C=1/2y라는 것을 알 수 있다. 그런데 x+y=360°이므로, A+C=180°가 나온다.

 


그래서 원에 내접하는 사각형의 첫 번째 성질은 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°이다. 예를 들어 AC의 합은 180°이고, BD의 합도 180°이다.(BD도 위와 같이 계산해보면, B+D=180°가 나온다)

 


다음으로 사각형에서 한 외각의 옆에 있는 내각과 마주보고 있는 각을 내대각이라고 부르는데, 아래에 있는 그림에서 외각 DCE의 내대각은 A이다. 그런데 위에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°라고 했으므로 A+C=180°이고, 평각은 180°이므로 C+DCE=180°이다. 그럼 두 식 모두 C가 공통으로 있으므로, 대입을 통해서 식을 섞어보면 A=DCE가 나온다.(두 번째 식 C+DCE=180°C=180°–∠DCE로 변형한 다음, 첫 번째 식 A+C=180°에 대입하자. 그러면 A+180°–∠DCE=180°가 나오는데, 식을 풀어보면 A=DCE가 나온다) 그래서 원에 내접하는 사각형의 두 번째 성질은 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 서로 같다.



Posted by 나부랭이

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